Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 388 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

µ(φ | ·)
∃(ω(λ , φ , φ) ∈ L
1
([a , b]) , ω(λ , φ , φ) ≥ 0) :
∀(m ∈ B([a , b]) : µ(φ | m) =
Z
m
ω(λ , φ , φ)dλ.
∀(a , b) :
Z
b
a
ω(λ , φ , φ)dλ = k(E(a , A) − E(b , A)φk
2
≤ kφk
2
,
ω(λ , φ , φ) ∈ L
1
(R
1
).
λ 7→
Z
λ
−∞
ω(ξ , φ , ψ)dξ =< φ , E(λ , A)ψ >
d
dλ
< φ , E(λ , A)ψ >= ω(λ , φ , ψ).
(E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A))
2
= E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A),
< φ , (E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A))ψ > |
2
≤
< φ , (E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A))φ > × < ψ , (E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A))ψ > .
∆λ
2
∆λ → 0
∀(φ ∈ H
ac
) : r(φ , n) = {λ | ω(λ , φ , φ) < n
2
}
\
[−n , n].
íå óáûâàåò è ìåðà µ(φ | ·) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû
Ëåáåãà. Ñëåäîâàòåëüíî,

             ∃(ω(λ , φ , φ) ∈ L1 ([a , b]) , ï.â. ω(λ , φ , φ) ≥ 0) :
                                               Z
             ∀(m ∈ B([a , b]) : µ(φ | m) = ω(λ , φ , φ)dλ.
                                                    m

Òàê êàê
                  Z    b
     ∀(a , b) :            ω(λ , φ , φ)dλ = k(E(a , A) − E(b , A)φk2 ≤ kφk2 ,
                   a

òî

     ω(λ , φ , φ) ∈ L1 (R1 ).

Óòâåðæäåíèå (5.12) òåïåðü ñëåäóåò èç ïîëÿðèçàöèîííîãî òîæäåñòâà.
   Èç òåîðåìû 1.2.19 ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ
                            Z   λ
                  λ 7→              ω(ξ , φ , ψ)dξ =< φ , E(λ , A)ψ >
                             −∞

ïî ìåðå Ëåáåãà ïî÷òè âñþäó äèôôåðåíöèðóåìà è

                              d
                      ï.â.      < φ , E(λ , A)ψ >= ω(λ , φ , ψ).
                             dλ
Òàê êàê

     (E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A))2 = E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A),                    (5.18)

òî èç íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ñëåäóåò, ÷òî

< φ , (E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A))ψ > |2 ≤
< φ , (E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A))φ > × < ψ , (E(λ + ∆λ , A) − E(λ , A))ψ > .

Äåëÿ îáå ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà íà ∆λ2 è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ∆λ → 0,
ìû ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî (5.14).
   Ðàâåíñòâî (5.15) åñòü ñëåäñòâèå ðàâåíñòâà (5.12) è îïðåäåëåíèÿ ôóíê-
öèè îò îïåðàòîðà.
   Ïîëîæèì
                                                          \
         ∀(φ ∈ Hac ) : r(φ , n) = {λ | ω(λ , φ , φ) < n2 } [−n , n].

                                              376

Страницы