Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 390 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

±
∀φ : lim
t→±∞
kW
±
(B , A)φ − exp(itB) exp(−itA)P
ac
(A)φk = 0.
W
±
(B , A)
1. ∀(φ ∈ H) : kW
±
(B , A)φk = kP
ac
φk.
2. E(λ , B)W
±
(B , A) = W
±
(B , A)E(λ , A).
3. Im(W
±
(B , A)) ⊂ P
ac
(B)H.
+
kW
+
(B , A)φk = lim
t→∞
kexp(itB) exp(−itA)P
ac
(A)φk =
lim
t→∞
kexp(−itA)P
ac
(A)φk = kP
ac
(A)φk.
∀(τ ∈ R
1
) : W
+
(B , A) exp(−iτA)φ =
lim
t→∞
exp(itB) exp(−itA) exp(−iτA)P
ac
(A)φ =
exp(−iτB) lim
t→∞
exp(itB) exp(−itA))P
ac
(A)φ = exp(−iτB)W
+
(B , A)φ,
exp(−iτB)W
+
(B , A) = W
+
(B , A) exp(−iτA).
∀(φ , ψ) : < φ , exp(−iτB)W
+
(B , A)ψ >=
< φ , W
+
(B , A) exp(−iτA)ψ >=< W
+
(B , A)
∗
φ , exp(−iτA)ψ >,
Z
exp(−iτλ)d
λ
< W
+
(B , A)
∗
φ , E(λ , A)ψ >=
Z
exp(−iτλ)d
λ
< φ , E(λ , B)W
+
(B , A)ψ >,
   Äàëåå ñëåäóþò ðàâåíñòâà, â êîòîðûõ åñòü èíäåêñû ±. Ýòè ðàâåíñòâà
ìû áóäåì ïîíèìàòü êàê íåçàâèñèìûå ðàâåíñòâà, â îáåèõ ÷àñòÿõ êîòîðûõ
áåðóòñÿ ëèáî âåðõíèå èíäåêñû, ëèáî íèæíèå.
   Îïðåäåëåíèå âîëíîâûõ îïåðàòîðîâ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
    ∀φ : lim kW± (B , A)φ − exp(itB) exp(−itA)Pac (A)φk = 0.           (5.22)
          t→±∞

Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ âîëíîâûõ îïåðàòîðâ ìû îáñóäèì ïîçæå, à ñåé÷àñ
ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòè îïåðàòîðû ñóùåñòâóþò è óñòàíîâèì èõ
ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà.
Òåîðåìà 5.2.1. Åñëè âîëíîâûå îïåðàòîðû W        ± (B   , A)   ñóùåñòâóþò, òî
òîãäà

                 1. ∀(φ ∈ H) : kW± (B , A)φk = kPac φk.                (5.23)
                 2. E(λ , B)W± (B , A) = W± (B , A)E(λ , A).           (5.24)
                 3. Im(W± (B , A)) ⊂ Pac (B)H.                         (5.25)
   Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ çíàêà +. Èìååì:
          kW+ (B , A)φk = lim k exp(itB) exp(−itA)Pac (A)φk =
                             t→∞
           lim k exp(−itA)Pac (A)φk = kPac (A)φk.
          t→∞

Ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî.
   Äàëåå èìååì:
  ∀(τ ∈ R1 ) : W+ (B , A) exp(−iτ A)φ =
   lim exp(itB) exp(−itA) exp(−iτ A)Pac (A)φ =
  t→∞
  exp(−iτ B) lim exp(itB) exp(−itA))Pac (A)φ = exp(−iτ B)W+ (B , A)φ,
             t→∞

ñëåäîâàòåëüíî,

  exp(−iτ B)W+ (B , A) = W+ (B , A) exp(−iτ A).

Ïîýòîìó

  ∀(φ , ψ) : < φ , exp(−iτ B)W+ (B , A)ψ >=
  < φ , W+ (B , A) exp(−iτ A)ψ >=< W+ (B , A)∗ φ , exp(−iτ A)ψ >,
  Z
     exp(−iτ λ)dλ < W+ (B , A)∗ φ , E(λ , A)ψ >=
  Z
     exp(−iτ λ)dλ < φ , E(λ , B)W+ (B , A)ψ >,


                                    378

Страницы