Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 392 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Im(W
±
(B , A)) = P
ac
(B)H,
W
±
(B , A)
W
±
(B , A)
E(λ , B)P
ac
(B) E(λ , A)P
ac
(A)
∀(φ ∈ P
ac
(B)H) : E(λ , B)P
ac
(B)φ =
W
±
(B , A)E(λ , A)P
ac
(A)W
±
(B , A)
−1
φ
W
±
(A , B)
W
±
(B , A) W
±
(A , B)
P
ac
(A)H , P
ac
(B)H
W
±
(B , A) ∈ L(P
ac
(A)H 7→ P
ac
(B)H)
∀(ψ ∈ P
ac
(B)H) , ∃(φ ∈ P
ac
(A)H) : ψ = W
±
(B , A)φ,
∀(ψ ∈ P
ac
(B)H) : lim
t→±∞
kψ −exp(itB) exp(−itA)φk =
lim
t→±∞
kexp(itA) exp(−itB)ψ −φk = kW
±
(A , B)ψ − φk.
P
ac
(A) = W
±
(A , B)W
±
(B , A),
P
ac
(B) = W
±
(B , A)W
±
(A , B).
P
ac
(A)H = Im(W
±
(A , B)) , P
ac
(B)H = Im(W
±
(B , A)).
W
±
(B , A) , W
±
(A , B)
Îïðåäåëåíèå 5.2.2. Åñëè
                       Im(W± (B , A)) = Pac (B)H,                        (5.27)
òî âîëíîâîé îïåðàòîð W± (B , A) íàçûâàåòñÿ ïîëíûì.
Òåîðåìà 5.2.3. Åñëè õîòÿ áû îäèí âîëíîâûõ îïåðàòîðîâ W         ± (B   , A) ïîë-
íûé, òî
     1. Ýòîò îïåðàòîð îáðàòèì è îïåðàòîðû       E(λ , B)Pac (B) è E(λ , A)Pac (A)
óíèòàðíî ýêâèâàëåíòíû:

                  ∀(φ ∈ Pac (B)H) : E(λ , B)Pac (B)φ =
                  W± (B , A)E(λ , A)Pac (A)W± (B , A)−1 φ                (5.28)
     2. Ñóùåñòâóåò âîëíîâîé îïåðàòîð       W± (A , B).
     3. Åñëè ñóùåñòâóþò îáà âîëíîâûõ îïåðàòîðà      W± (B , A) è W± (A , B),
òî îíè ïîëíû.

    Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (5.27), òî ê ïðîñòðàíñòâàì
Pac (A)H , Pac (B)H è îïåðàòîðó
                   W± (B , A) ∈ L(Pac (A)H 7→ Pac (B)H)
ìû ìîæåì ïðèìåíèòü òåîðåìó Áàíàõà îá îáðàòíîì îïåðàòîðå (ñì. ñòð.
168) è ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà (5.25).
   Åñëè
          ∀(ψ ∈ Pac (B)H) , ∃(φ ∈ Pac (A)H) : ψ = W± (B , A)φ,

òî

          ∀(ψ ∈ Pac (B)H) :   lim kψ − exp(itB) exp(−itA)φk =
                              t→±∞

           lim k exp(itA) exp(−itB)ψ − φk = kW± (A , B)ψ − φk.
           t→±∞

Âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî.
   Åñëè ñóùåñòâóþò îáà âîëíîâûõ îïåðàòîðà, òî ïî òåîðåìå îá óìíîæå-
íèè âîëíîâûõ îïåðàòîðîâ èìååì:
                      Pac (A) = W± (A , B)W± (B , A),
                      Pac (B) = W± (B , A)W± (A , B).
Ýòè ðàâåíñòâà äîêàçûâàþò, ÷òî
          Pac (A)H = Im(W± (A , B)) , Pac (B)H = Im(W± (B , A)).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ïóñòü ñóùåñòâóþò îïåðàòîðû W± (B , A) , W± (A , B).

                                     380

Страницы