Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 393 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S(B , A)
S(B , A) = W
+
(B , A)
∗
W
−
(B , A).
S(B , A)
A
f(A)S(B , A) = f(A)W
+
(B , A)
∗
W
−
(B , A) =
(W
+
(B , A)f(A))
∗
W
−
(B , A) = (f(B)W
+
(B , A))
∗
W
−
(B , A) =
W
+
(B , A)
∗
f(B)W
−
(B , A) = W
+
(B , A)
∗
W
−
(B , A)f(A) =
S(B , A)f(A).
K
∀(φ ∈ H
ac
) : lim
t→∞
kK exp(−itA)φk = 0.
kK exp(−itA)φk
2
=
X
1≤j≤n
s
j
(K)
2
| < g
j
, exp(−itA)φ > |
2
+
X
j>n
s
j
(K)
2
| < g
j
, exp(−itA)φ > |
2
≤
X
1≤j≤n
s
j
(K)
2
| < g
j
, exp(−itA)φ > |
2
+ s
n
(K)
2
kφk
2
, s
n
(K) → 0 , n → ∞.
∀(φ ∈ H
ac
) : < g
j
, exp(−itA)φ >=
Z
exp(−itλ)ω(g
j
, φ , λ)dλ → 0 , t → ∞,
Îïðåäåëåíèå 5.2.3. Îïåðàòîðîì ðàññåÿíèÿ S(B , A) íàçûâàåòñÿ îïåðà-
òîð
                                 def
                        S(B , A) = W+ (B , A)∗ W− (B , A).                     (5.29)
Òåîðåìà 5.2.4. Îïåðàòîð ðàññåÿíèÿ S(B , A) êîììóòèðóåò ñ ëþáîé
îãðàíè÷åííîé áîðåëåâñêîé ôóíêöèåé îïåðàòîðà                A.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
        f (A)S(B , A) = f (A)W+ (B , A)∗ W− (B , A) =
        (W+ (B , A)f (A))∗ W− (B , A) = (f (B)W+ (B , A))∗ W− (B , A) =
        W+ (B , A)∗ f (B)W− (B , A) = W+ (B , A)∗ W− (B , A)f (A) =
        S(B , A)f (A).
Òåîðåìà äîêàçàíà.


5.3       Ïðèçíàêè ñóùåñòâîâàíèÿ âîëíîâûõ îïå-

          ðàòîðîâ è ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè âîë-

          íîâûõ îïåðàòîðîâ.

Ñíà÷àëà ìû äîêàæåì íåñêîëüêî âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé.
Ëåììà 5.3.1. Åñëè K -êîìïàêòíûé îïåðàòîð, òî
                      ∀(φ ∈ Hac ) : lim kK exp(−itA)φk = 0.                    (5.30)
                                       t→∞

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå Øìèäòà (ñì. (4.60) íà ñòð.
296), ìû ïîëó÷àåì:
kK exp(−itA)φk2 =
 X                                      X
     sj (K)2 | < gj , exp(−itA)φ > |2 +   sj (K)2 | < gj , exp(−itA)φ > |2
1≤j≤n                                                j>n
      X
≤            sj (K) | < gj , exp(−itA)φ > | + sn (K)2 kφk2 , sn (K) → 0 , n → ∞.
                  2                              2

     1≤j≤n

Íî
                                             Z
∀(φ ∈ Hac ) : < gj , exp(−itA)φ >=               exp(−itλ)ω(gj , φ , λ)dλ → 0 , t → ∞,

÷òî è äîêàçûâàåò íàøå óòâåðæäåíèå.
   Ñëåäóþùàÿ âàæíàÿ â òåîðèè ðàññåÿíèÿ ëåììà íàçûâàåòñÿ ëåììîé Ì.
Ðîçåíáëþìà.

                                             381

Страницы