Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 395 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

R
∀(φ ∈ R) :
Z
∞
−∞
k(B − A) exp(−iAt)φkdt < ∞,
W
±
(B , A)
W (t) := exp(itB) exp(−itA).
kW (t)k ≡ 1,
φ ∈ H
ac
φ ∈ R φ ∈ Dom(A)
exp(−iτA)φ ∈ Dom(B) , ∃
d
dτ
W (τ)φ ,
d
dτ
W (τ)φ ∈ C((0 , ∞) , H).
(W (t) − W (s))φ =
Z
t
s
d
dτ
W (τ)φdτ = i
Z
t
s
exp(iτB)(B −A) exp(−iτ A)φdτ,
∀(t > s > s()) : k(W (t) − W (s))φk ≤
Z
t
s
k(B − A) exp(−iτA)φkdτ < .
H = L
2
(R
3
) , A = −∆ , B = −∆ + V,
V
v(x)
∀(x ∈ R
3
) : |v(x)| ≤ C(1 + |x|)
−(1+)
, > 0.
W
±
(B , A)
∀(φ ∈ H) : < φ , E(λ , A)φ >= (2π)
−3
Z
ξ
2
<λ
|
b
φ(ξ)|
2
dξ,
Ëåììà 5.3.3. Åñëè ìíîæåñòâî R óäîâëåòâîðÿåò îïèñàííûì âûøå òðå-
áîâàíèÿì è
                           Z   ∞
              ∀(φ ∈ R) :           k(B − A) exp(−iAt)φkdt < ∞,             (5.32)
                            −∞

òî âîëíîâûå îïåðàòîðû      W± (B , A)    ñóùåñòâóþò.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì

                       W (t) := exp(itB) exp(−itA).                        (5.33)

Òàê êàê
                                   kW (t)k ≡ 1,
òî â ñèëó òåîðåìû Áàíàõà-Øòåéíãàóçà (ñì. ñòð. 161) äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëîâ (5.20)-(5.21) äëÿ âñåõ φ ∈ Hac äîñòàòî÷íî äî-
êàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ýòèõ ïðåäåëîâ äëÿ φ ∈ R. Òàê êàê φ ∈ Dom(A),
òî
                                     d            d
   exp(−iτ A)φ ∈ Dom(B) , ∃            W (τ )φ ,    W (τ )φ ∈ C((0 , ∞) , H).
                                    dτ           dτ
   Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà (5.20). Èìååì:
                    Z t                 Z t
                        d
(W (t) − W (s))φ =        W (τ )φdτ = i     exp(iτ B)(B − A) exp(−iτ A)φdτ,
                     s dτ                s
                                        Z t
∀(t > s > s()) : k(W (t) − W (s))φk ≤      k(B − A) exp(−iτ A)φkdτ < .
                                              s

Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà (5.21) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. Ëåììà äîêàçà-
íà.
    Ðàññìîòðèì ïðèìåð.
    Ïóñòü
                H = L2 (R3 ) , A = −∆ , B = −∆ + V,
ãäå V -îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà äåéñòâèòåëüíóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ
v(x), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå

               ∀(x ∈ R3 ) : |v(x)| ≤ C(1 + |x|)−(1+) ,  > 0.             (5.34)

Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå âîëíîâûõ îïåðàòîðîâ W± (B , A).
  Èìååì:
                                              Z
                                           −3    b 2 dξ,
         ∀(φ ∈ H) : < φ , E(λ , A)φ >= (2π)     |φ(ξ)|
                                                      ξ 2 <λ


                                        383

Страницы