Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 394 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

T
φ ∈ M(A)
Z
kT exp(−itA)φk
2
dt ≤ 2πkφ | M(A)k
2
kT | NSk
2
.
Z
kT exp(−itA)φk
2
dt =
Z
X
1≤j<∞
s
j
(T )
2
| < g
j
, exp(−itA)φ > |
2
!
dt =
X
1≤j<∞
s
j
(T )
2
Z
|
Z
ω(g
j
, φ , λ) exp(−iλt)dλ|
2
dt.
λ
Z
kT exp(−itA)φk
2
dt =
2π
X
1≤j<∞
s
j
(T )
2
Z
|ω(g
j
, φ , λ)|
2
dλ ≤
2π
X
1≤j<∞
s
j
(T )
2
Z
|ω(g
j
, g
j
, λ)ω(φ , φ , λ)|dλ ≤
2πkφ | Mk
2
X
1≤j<∞
s
j
(T )
2
Z
ω(g
j
, g
j
, λ)dλ = 2πkφ | Mk
2
kT | NSk
2
.
A B
Dom(A) = Dom(B) = D
R H
ac
Cl(R) ⊃ H
ac
,
A B
R ⊂ D.
R
R = M
b
(A)
Ëåììà 5.3.2. Åñëè T - îïåðàòîð Ãèëüáåðòà-Øìèäòà (ñì. îïðåäåëåíèå
íîðìû Ãèëüáåðòà-Øìèäòà íà ñòð. 300)è                             φ ∈ M(A)    (îïðåäåëåíèå ýòîãî
ïðîñòðàíñòâà ñì. íà ñòð. 375), òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
              Z
                    kT exp(−itA)φk2 dt ≤ 2πkφ | M(A)k2 kT | N Sk2 .                        (5.31)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå Øìèäòà, ìû ïîëó÷àåì:
 Z                       Z                                        !
                            X
    kT exp(−itA)φk2 dt =         sj (T )2 | < gj , exp(−itA)φ > |2 dt =
                                                    1≤j<∞
  X                 Z        Z
         sj (T )2        |        ω(gj , φ , λ) exp(−iλt)dλ|2 dt.
 1≤j<∞

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî λ è íåðà-
âåíñòâî (5.14), ìû ïîëó÷àåì:
    Z
      kT exp(−itA)φk2 dt =
       X              Z
                    2
   2π       sj (T )     |ω(gj , φ , λ)|2 dλ ≤
        1≤j<∞
         X                    Z
                          2
   2π           sj (T )           |ω(gj , gj , λ)ω(φ , φ , λ)|dλ ≤
        1≤j<∞
                         X                      Z
                    2                       2
   2πkφ | Mk                      sj (T )           ω(gj , gj , λ)dλ = 2πkφ | Mk2 kT | N Sk2 .
                        1≤j<∞

Ëåììà äîêàçàíà.
   Ïóñòü A è B -ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû ñ îáùåé îáëàñòüþ îïðåäå-
ëåíèÿ
                      Dom(A) = Dom(B) = D
è R -ïëîòíîå â Hac ìíîæåñòâî:

                                                    Cl(R) ⊃ Hac ,
êîòîðîå ñîäåðæèòñÿ â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðîâ A è B :

                                                      R ⊂ D.
Ìíîæåñòâî R ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè âñåãäà ñóùåñòâóåò: ìîæíî ïîëîæèòü
R = Mb (A), è ìíîæåñòâ ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè ìîæåò áûòü ìíîãî.
   Ñëåäóþùåå ïðîñòîå óòâåðæäåíèå îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ïîëåçíûì â òåî-
ðèè ðàññåÿíèÿ. Ýòî -ïðèçíàê Êóêà ñóùåñòâîâàíèÿ âîëíîâûõ îïåðàòîðîâ.

                                                        382

Страницы