Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 396 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

λ φ ∈ H
P
ac
(A)H = H
ac
= L
2
(R
3
)
A
ψ =
X
1≤j≤n
α
j
exp(−(x − a
j
)
2
) , a
j
∈ R
3
, n = 1 , 2 . . .
L
2
(R
3
)
W
±
(B , A)
Z
∞
−∞
J(t)dt < ∞,
J(t) = kV exp(−itA)ψ
0
k, ψ
0
= exp(−(x − a)
2
).
exp(−itA)ψ
0
(x) = F
−1
(exp(itξ
2
)F (exp(−(· − a)
2
))(x) =
σ(t)
−3/2
exp(−(x − a)
2
/σ(t)) , σ(t) = 1 + 4it.
|V exp(−itA)ψ
0
(x)| < C|σ(t)|
−3/2
(1 + |x|)
−(1+)
exp(−(|x − a|/|σ(t)|)
2
).
q
3
2(1 + )
< q <
3
2
1
p
+
1
q
= 1.
J(t) ≤ C|σ(t)|
−3/2
Z
(1 + |x|)
−2(1+)
exp(−2((x − a)/|σ(t)|)
2
)dx
1/2
≤
C|σ(t)|
−3/2
Z
(1 + |x|)
−2q(1+)
dx
1/2q
Z
exp
−
2p|x − a|
2
|σ(t)|
2
dx
1/2p
≤
const.|σ(t)|
−3/2q
.
3/2q > 1
Òàê êàê ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà åñòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíê-
öèÿ ïàðàìåòðà λ ïðè ëþáîì φ ∈ H , òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
                                 Pac (A)H = Hac = L2 (R3 )
è ó îïåðàòîðà A íåò ñèíãóëÿðíîãî ñïåêòðà.
   Â ñèëó èçâåñòíîé â òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå òåîðåìû Âèíåðà
ìíîæåñòâî ôóíêöèé âèäà
                X
           ψ=       αj exp(−(x − aj )2 ) , aj ∈ R3 , n = 1 , 2 . . .
                     1≤j≤n

ïëîòíî â L2 (R3 ), ïîýòîìó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ âîëíîâûõ
îïåðàòîðîâ W± (B , A) äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî
                            Z ∞
                                J(t)dt < ∞,                    (5.35)
                                       −∞
ãäå
  J(t) = kV exp(−itA)ψ0 k , ψ0 = exp(−(x − a)2 ).

Èìååì:

  exp(−itA)ψ0 (x) = F −1 (exp(itξ 2 )F (exp(−(· − a)2 ))(x) =
  σ(t)−3/2 exp(−(x − a)2 /σ(t)) , ãäå σ(t) = 1 + 4it.

 ñèëó îöåíêè (5.34)

  |V exp(−itA)ψ0 (x)| < C|σ(t)|−3/2 (1 + |x|)−(1+) exp(−(|x − a|/|σ(t)|)2 ).
Ïóñòü ÷èñëî q óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå
    3         3              1 1
           1, òî îòñþäà ñëåäóåò îöåíêà (5.35).
   Îäíèì èç îñíîâíûõ ïðèçíàêîâ ñóùåñòâîâàíèÿ âîëíîâûõ îïåðàòîðîâ
ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé.

                                               384

Страницы