Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 398 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

[A , exp(−i(t − s)B)] = [A + C , exp(−i(t − s)B)] − [C , exp(−i(t − s)B)],
[A + C , exp(−i(t − s)B)] = [B , exp(−i(t − s)B)] = 0
∀(φ ∈ D) : lim
a→∞
kexp(iaA)Z(t , s) exp(−iaA)φk = 0.
Z(t , s) exp(−iaA)φ = W
∗
(t)
Z
t
s
d
dτ
exp(iτB) exp(−i(τ + a)A)φ > dτ =
iW
∗
(t)
Z
t
s
exp(iτB)(B − A) exp(−i(τ + a)A)φdτ.
kexp(iaA)Z(t , s) exp(−iaA)φk ≤
t
Z
s
kC exp(−i(τ + a)A)φkdτ → 0 , a → ∞.
∀(φ ∈ M(A)) : R(g , φ , t) =
Z
∞
t
| < g , exp(−ibA)φ > |
2
db.
Cφ =
X
1≤j<∞
s
j
(C) < g
j
, φ > e
j
C C
kC | Nclk :=
X
1≤j<∞
s
j
(C) < ∞,
Íî

[A , exp(−i(t − s)B)] = [A + C , exp(−i(t − s)B)] − [C , exp(−i(t − s)B)],
[A + C , exp(−i(t − s)B)] = [B , exp(−i(t − s)B)] = 0

Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 5.3.6. Ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå:
             ∀(φ ∈ D) : lim k exp(iaA)Z(t , s) exp(−iaA)φk = 0.
                        a→∞


     Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
                              Z t
                          ∗       d
Z(t , s) exp(−iaA)φ = W (t)         exp(iτ B) exp(−i(τ + a)A)φ > dτ =
                               s dτ
        Z t
   ∗
iW (t)      exp(iτ B)(B − A) exp(−i(τ + a)A)φdτ.
         s


Ïîýòîìó â ñèëó ëåììû 5.3.1

                                      Zt
k exp(iaA)Z(t , s) exp(−iaA)φk ≤           kC exp(−i(τ + a)A)φkdτ → 0 , a → ∞.
                                      s

Ëåììà äîêàçàíà.
  Ïîëîæèì
                                           Z    ∞
        ∀(φ ∈ M(A)) : R(g , φ , t) =                | < g , exp(−ibA)φ > |2 db.
                                            t

Ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà ñëåäóåò èç ëåììû Ì.Ðîçåíáëþìà.
   Ïóñòü
                          X
                   Cφ =       sj (C) < gj , φ > ej
                              1≤j<∞

-ðàçëîæåíèå Øìèäòà îïåðàòîðà C . Òàê êàê îïåðàòîð C ÿäåðíûé (îïðå-
äåëåíèå ÿäåðíîãî îïåðàòîðà è ÿäåðíîé íîðìû ñì. íà ñòð. 305), òî
                                           X
                       kC | N clk :=                sj (C) < ∞,                   (5.38)
                                          1≤j<∞

è ýòî íåðàâåíñòâî ìû íèæå ó÷èòûâàåì.

                                          386

Страницы