Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 400 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(φ ∈ M(A)) : k(W (t) − W (s))φk
2
≤
(8π)
1/2
kφ | M(A)k
X
1≤j<∞
s
j
(C)(R(g
j
, φ , s)
1/2
+ R(e
j
, φ , t)
1/2
).
a → ∞
(R(g
j
, φ , s)
1/2
+ R(e
j
, φ , t)
1/2
) < const.,
const. j
∀j : (R(g
j
, φ , s)
1/2
+ R(e
j
, φ , t)
1/2
) → 0 , min(t , s) → ∞.
∀(φ ∈ M(A)) : k(W (t) − W (s))φk → 0 , min(t , s) → ∞.
φ ∈ M(A) t 7→ W (t)φ
t → ∞ M(A) H
ac
h(λ)
∀λ : |h
0
(λ)| > 0,
W
±
(h(B) , h(A))
(∀λ : h
0
(λ) > 0) ⇒ (W
±
(h(B) , h(A)) = W
±
(B , A)),
(∀λ : h
0
(λ) < 0) ⇒ (W
±
(h(B) , h(A)) = W
∓
(B , A)).
s = 0 , t → ∞
∀(φ ∈ M(A) : kW
+
(B , A)φ − φk
2
≤
(8π)
1/2
kφ | M(A)k
X
1≤j<∞
s
j
(C)R(g
j
, φ , ∞)
1/2
Ëåììà 5.3.9. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
  ∀(φ ∈ M(A)) : k(W (t) − W (s))φk2 ≤
                     X
  (8π)1/2 kφ | M(A)k     sj (C)(R(gj , φ , s)1/2 + R(ej , φ , t)1/2 ).     (5.39)
                      1≤j<∞


   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà èñïîëüçóåì ðàâåíñòâî (5.36). Çàòåì ïåðåõî-
äèì â (5.37) ê ïðåäåëó a → ∞ è èñïîëüçóåì îöåíêè ëåìì 5.3.7-5.3.8.
   Èç îöåíêè (5.39) ëåãêî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Äåéñòâèòåëüíî,
èç ëåììû Ì.Ðîçåíáëþìà ñëåäóåò, ÷òî

                (R(gj , φ , s)1/2 + R(ej , φ , t)1/2 ) < const.,

ãäå const. íå çàâèñèò îò j , è èç òîé æå ëåììû ñëåäóåò, ÷òî

       ∀j : (R(gj , φ , s)1/2 + R(ej , φ , t)1/2 ) → 0 , min(t , s) → ∞.

Òàê êàê ðÿä (5.38) ñõîäèòñÿ, òî èç (5.39) ñëåäóåò, ÷òî

         ∀(φ ∈ M(A)) : k(W (t) − W (s))φk → 0 , min(t , s) → ∞.

Ìû äîêàçàëè, ÷òî åñëè φ ∈ M(A), òî ôóíêöèÿ t 7→ W (t)φ èìååò ïðå-
äåë ïðè t → ∞. Òàê êàê ïðîñòðàíñòâî M(A) ïëîòíî â Hac , òî òåîðåìà
äîêàçàíà.
   Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì èíâàðèàíòíîñòè âîë-
íîâûõ îïåðàòîðîâ è ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ðàñøèðèòü îáëàñòü ïðèìå-
íèìîñòè òåîðåìû 5.3.1.

Òåîðåìà 5.3.2. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 5.3.1 è h(λ) -òàêàÿ
äåéñòâèòåëüíàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, ÷òî

                              ∀λ : |h0 (λ)| > 0,

òî âîëíîâûå îïåðàòîðû     W± (h(B) , h(A))    ñóùåñòâóþò, ïðè÷åì

           (∀λ : h0 (λ) > 0) ⇒ (W± (h(B) , h(A)) = W± (B , A)),
           (∀λ : h0 (λ) < 0) ⇒ (W± (h(B) , h(A)) = W∓ (B , A)).

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ â (5.39) s = 0 , t → ∞, ìû ïîëó÷àåì:

              ∀(φ ∈ M(A) : kW+ (B , A)φ − φk2 ≤
                                 X
              (8π)1/2 kφ | M(A)k     sj (C)R(gj , φ , ∞)1/2                (5.40)
                                   1≤j<∞



                                      388

Страницы