Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 401 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ → exp(−iτh(A))φ.
kW
+
(B , A) exp(−iτh(A))φ − exp(−iτh(A))φk
2
=
kexp(−iτh(B))W
+
(B , A)φ − exp(−iτh(A))φk
2
=
kW
+
(B , A)φ − exp(iτh(B)) exp(−iτh(A))φk
2
.
kexp(−iτh(A))φ | M(A)k ≡ kφ | M(A)k.
Z
∞
0
| < g
j
, exp(−ibA) exp(−iτh(A))φ > |
2
db ≤
Z
∞
−∞
| < g
j
, exp(−ibA) exp(−iτh(A))φ > |
2
db =
Z
∞
−∞
|
Z
∞
−∞
ω(g
j
, exp(−iτh(A))φ) exp(−ibλ)dλ|
2
db =
2π
Z
∞
−∞
|ω(g
j
, exp(−iτh(A))φ , λ)|
2
dλ = 2π
Z
∞
−∞
|ω(g
j
, φ , λ)|
2
dλ < const.,
j τ
λ 7→ ω(g
j
, φ , λ)
ω(g
j
, φ , λ) =
(
1 , λ ∈ [α , β],
0 , λ 6∈ [α , β],
h
0
(λ) > 0
|
Z
∞
−∞
exp(−iτh(λ) − ibλ)ω(g
j
, φ , λ)dλ|
2
=
const.|
Z
β
α
exp(−ibλ − iτh(λ))dλ|
2
< const
0
.(τ + b)
−2
,
τ → ∞
 äàííîì íåðàâåíñòâå çàìåíèì

                                  φ → exp(−iτ h(A))φ.

 ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (5.40) ïîëó÷èì:

             kW+ (B , A) exp(−iτ h(A))φ − exp(−iτ h(A))φk2 =
             k exp(−iτ h(B))W+ (B , A)φ − exp(−iτ h(A))φk2 =
             kW+ (B , A)φ − exp(iτ h(B)) exp(−iτ h(A))φk2 .

Ïåðåõîäÿ ê ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (5.40), âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî

                   k exp(−iτ h(A))φ | M(A)k ≡ kφ | M(A)k.

Äàëåå çàìå÷àåì, ÷òî ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
 Z ∞
      | < gj , exp(−ibA) exp(−iτ h(A))φ > |2 db ≤
 Z0 ∞
      | < gj , exp(−ibA) exp(−iτ h(A))φ > |2 db =
 Z−∞∞ Z ∞
      |      ω(gj , exp(−iτ h(A))φ) exp(−ibλ)dλ|2 db =
  −∞
    Z ∞ −∞                                    Z ∞
                                     2
2π       |ω(gj , exp(−iτ h(A))φ , λ)| dλ = 2π      |ω(gj , φ , λ)|2 dλ < const.,
     −∞                                               −∞

ãäå êîíñòàíòà íå çàâèñèò îò j è τ . Åñëè ôóíêöèÿ

                                     λ 7→ ω(gj , φ , λ)

ñòóïåí÷àòàÿ:                             (
                                          1 , λ ∈ [α , β],
                         ω(gj , φ , λ) =
                                          0,λ∈  6 [α , β],
òî ñ ó÷åòîì íåðàâåñòâà h0 (λ) > 0 ìû èìååì îöåíêó:
            Z ∞
          |     exp(−iτ h(λ) − ibλ)ω(gj , φ , λ)dλ|2 =
              −∞
                     Z   β
           const.|           exp(−ibλ − iτ h(λ))dλ|2 < const0 .(τ + b)−2 ,
                     α

èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðàâàÿ ÷àñòü íåðà-
âåíñòâà (5.40) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè τ → ∞. Îáùèé ñëó÷àé ïîëó÷àåòñÿ

                                            389

Страницы