Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 403 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
2
([R
1
7→ H] , dt)
[f , g] :=
Z
∞
−∞
< f(t) , g(t) > dt
kf | L
2
([R
1
7→ H] , dt)k
2
:= [f , f].
L
2
([R
1
7→ H] , dt)
f(t) ∈ L
2
([R
1
7→ H] , dt) t
F (f)(ξ) :=
Z
∞
−∞
f(t) exp(−itξ)dt
dt
f(t) =
1
2π
Z
∞
−∞
F (f)(ξ) exp(itξ)dξ
[f , g] =
1
2π
[F (f) , F (g)].
{e
j
}
H
f(t) =
X
j
< e
j
, f(t) > e
j
f
F (f)(ξ) =
X
j
F (< e
j
, f(t) >)(ξ)e
j
=
X
j
< e
j
, F (f)(ξ) > e
j
,
t
L
2
([R
1
7→ H] , dt)
 ïðîñòðàíñòâå L2 ([R1 7→ H] , dt) ââåäåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
                               Z ∞
                    [f , g] :=     < f (t) , g(t) > dt
                                     −∞

è íîðìó

                        kf | L2 ([R1 7→ H] , dt)k2 := [f , f ].

Äàëåå òåì æå ñèìâîëîì L2 ([R1 7→ H] , dt) ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïîïîëíå-
íèå ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ïî ââåäåííîé íîðìå.
   Íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé f (t) ∈ L2 ([R1 7→ H] , dt) ñ êîìïàêòíûì ïî t
íîñèòåëåì îïðåäåëèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:
                                 Z ∞
                    F (f )(ξ) :=     f (t) exp(−itξ)dt
                                          −∞

Èíòåãðàë ïî dt çäåñü ïîíèìàåòñÿ êàê èíòåãðàë Áîõíåðà, ò. å. êàê èíòåãðàë
Ðèìàíà îò ôóíêöèè ñî çíà÷åíèÿìè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.
  Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà îáðàùåíèÿ
                               Z ∞
                             1
                    f (t) =        F (f )(ξ) exp(itξ)dξ
                            2π −∞

è ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ

                                     1
                        [f , g] =      [F (f ) , F (g)].
                                    2π
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ôîðìóë äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî åñëè {ej } -
îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H è
              X
      f (t) =   < ej , f (t) > ej
              j


ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f ïî ýòîìó áàçèñó, òî
                    X                                  X
      F (f )(ξ) =       F (< ej , f (t) >)(ξ)ej =              < ej , F (f )(ξ) > ej ,
                    j                                      j

è äîêàçûâàåìûå ôîìóëû äëÿ ôóíêöèé ñ êîìïàêòíûì ïî t íîñèòåëåì ñëå-
äóþò èç êëàññè÷åñêèõ ôîðìóë äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Íà
ôóíêöèè èç L2 ([R1 7→ H] , dt) îíè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè.
   Âòîðîå çàìå÷àíèå, êîòîðîå íàì ïîíàäîáèòñÿ íèæå, ñîñòîèò â ñëåäóþ-
ùåì.

                                           391

Страницы