Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 405 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

π
Z
∞
−∞
< R(λ + i , B)ψ , R(λ + i , A)φ > dλ =
π
Z
∞
−∞
< Q(λ + i , B)ψ , R(λ + i , A)R(λ − i , A)φ > dλ =
π
Z
∞
−∞
(
Z
1
0
Q(λ + i , B)ψ(x)
∗
((x − λ)
2
+
2
)
−1
φ(x)dx)dλ →
Z
1
0
Z
+
ψ(x)
∗
φ(x)dx =< ψ , Z
∗
+
φ > .
W
±
φ = Z
∗
±
φ,
Z
∗
±
Z
±
B
Z
±
B = AZ
±
, BZ
∗
±
= Z
∗
±
A,
Z
±
W
±
= Z
∗
±
= Z
−1
±
.
A H A
H = L
2
((a , b) 7→ h) , h = L
2
(Ω , dω),
Aφ(µ , ω) = µφ(µ , ω).
T (λ) Re λ ≥ 0
λ , µ , ν
∀λ > 0 : T (λ)φ(µ , ω) =
Z
t(λ + i0 | µ , ω ; ν , ω
0
)φ(ν , ω
0
)dνdω
0
.
 îáùåì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ (5.42)-(5.43) -äîâîëüíî òðóäíàÿ
çàäà÷à, îäíàêî â ðàññìîòðåííîé íàìè (ñì. ñòð. 323) ìîäåëè Ôðèäåðèõñà
ýòè ïðåäåëû ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ.
   Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè (4.145)-(4.146), ìû ïîëó÷àåì:

        ∞
         Z
              < R(λ + i , B)ψ , R(λ + i , A)φ > dλ =
       π −∞
        ∞
         Z
              < Q(λ + i , B)ψ , R(λ + i , A)R(λ − i , A)φ > dλ =
       π −∞
        ∞
         Z    Z 1
             (    Q(λ + i , B)ψ(x)∗ ((x − λ)2 + 2 )−1 φ(x)dx)dλ →
       π −∞ 0
       Z 1
           Z+ ψ(x)∗ φ(x)dx =< ψ , Z+∗ φ > .
        0

Ñëåäîâàòåëüíî
                                   W± φ = Z±∗ φ,
ãäå îïåðàòîðû Z±∗ îïðåäåëåíû ôîðìóëîé (4.148) íà ñòð. 324.
   Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. Îïåðàòîðû Z± äèà-
ãîíàëèçóþò îïåðàòîð B è óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ:

                       Z± B = AZ± , BZ±∗ = Z±∗ A,

÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñî ñïëåòàþùèì ñâîéñòâîì âîëíîâûõ îïåðàòîðîâ.
   Òàê êàê îïåðàòîðû Z± óíèòàðíû, òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà

                                 W± = Z±∗ = Z±−1 .

   Ìàòðèöà ðàññåÿíèÿ â äèàãîíàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòî-
ðà A. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî H äèàãîíàëèçóåò îïåðàòîð A:
                  H = L2 ((a , b) 7→ h) , h = L2 (Ω , dω),
                  Aφ(µ , ω) = µφ(µ , ω).

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ýòîì ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîð T (λ) ïðè Re λ ≥ 0
åñòü èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ãëàäêèì (íåïðåðûâíûì è îãðàíè÷åííûì
) ïî ïåðåìåííûì λ , µ , ν ÿäðîì:
                             Z
  ∀λ > 0 : T (λ)φ(µ , ω) =       t(λ + i0 | µ , ω ; ν , ω 0 )φ(ν , ω 0 )dνdω 0 .   (5.44)


                                        393

Страницы