Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 407 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Ω
Sφ(λ) = (1 −
2πiα(λ)
2
1 −g(λ + i0)
)φ(λ) =
1 − g(λ + i0) − 2πiα(λ)
2
1 − g(λ + i0)
φ(λ) =
1 − g(λ − i0)
1 − g(λ + i0)
φ(λ).
L
0
L
L
0
L
G
0
(β) G(β)
∂
β
G
0
(β) = −L
0
G
0
(β) , ∂
β
G(β) = −LG(β).
G
0
(β) G(β)
−L
0
−L
β 7→ G
0
(β) , β 7→ G(β)
A = G
0
(β) , B = G(β) L − L
0
L
0
B −A
A B
G
0
G
Òåîðåìà äêàçàíà.
    ñëó÷à ìîäåëè Ôðèäðèõñà ïðîñòðàíñòâî Ω ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè,
è
                           2πiα(λ)2
           Sφ(λ) = (1 −                )φ(λ) =
                         1 − g(λ + i0)
           1 − g(λ + i0) − 2πiα(λ)2         1 − g(λ − i0)
                                    φ(λ) =                φ(λ).
                 1 − g(λ + i0)              1 − g(λ + i0)

Ìû ïîëó÷èëè êëàññ÷åñêóþ ôîðìóëó.


5.5    Êîììåíòàðèè è ëèòåðàòóòíûå óêàçàíèÿ

Íà ðóññêîì ÿçûêå èçëîæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ðàññåÿíèÿ åñòü â
êíèãå [22].  ýòîé êíèãå èçëîæåí î÷åíü áîëüøîé ìàòåðèàë è ïîäðàçóìå-
âàåòñÿ, ÷òî ÷èòàòåëü ìîæåò ñàì âîññòàíîâèòü ìíîãèå òåõíè÷åñêèå äåòàëè
ðàññóæäåíèé.
   Ïîêàæåì, êàê òðàäèöèîííûå çàäà÷è äèôðàêöèè è ðàññåÿíèÿ íà êî-
ðîòêîäåéñòâóþùåì ïîòåíöèàëå ìîæíî èññëåäîâàòü èçëîæåííûìè âûøå
ìåòîäàìè. Ïóñòü L0 è L äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû, êîòîðûå îïèñû-
âàþò íåâîçìóùåííóþ è âîçìóùåííóþ çàäà÷è. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷è-
òàòü, ÷òî L0 è L -äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà.
Ïóñòü G0 (β) è G(β) -ôóíêöèè Ãðèíà çàäà÷ Êîøè:

              ∂β G0 (β) = −L0 G0 (β) , ∂β G(β) = −LG(β).

Ôóíêöèè Ãðèíà ñòðîÿòñÿ òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè òåîðèè äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé: ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèáëèæåíèÿìè, ïîòåíöèàëà-
ìè, ïðîäîëæåíèåì ïî ïàðàìåòðó. Ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñòðîåíèÿ ïîäðîáíî
îïèñàíû â ó÷åáíîé ëèòåòàòóðå. Ïðè øèðîêèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îïåðàòî-
ðû G0 (β) è G(β) -èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû ñ õîðîøèìè ÿäðàìè. Äàëåå
ñàìîñîïðÿæåííûå ðàñøèðåíèÿ îïåðàòîðîâ −L0 è −L îïðåäåëÿåì êàê èí-
ôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ïîëóãðóïï β 7→ G0 (β) , β 7→ G(β) è ïîëà-
ãàåì A = G0 (β) , B = G(β). Åñëè îïåðàòîð L − L0 ïîä÷èíåí (â ñìûñëå
òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ) îïåðàòîðó L0 , òî îïåðàòîð B −A
îêàçûâàåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ÿäåðíûì è ìîæíî ïðèìåíÿòü èçëîæåííóþ âû-
øå òåîðèþ. Èìåþùèå ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû îáû÷íî âûðàæàþòñÿ
÷åðåç ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íåïðåðûâíðãî ñïåêòðà îïåðàòîðîâ A è B , à
ýòè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ñîâïàäàþò ñ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè îïåðà-
òîðîâ G0 è G.


                                   395

Страницы