Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 409 стр.

Ãëàâà 6


Ðàñïðåäåëåíèÿ.


Ýòà ãëàâà ïîñâÿùåíà ýëåìåíòàðíîé òåîðèè ðàñïðåäåëåíèé (â ðóññêîé ìà-
òåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ðàñïðåäåëåíèÿ ÷àñòî íàçûâàþò îáîáùåííûìè
ôóíêöèÿìè) è åå ìîæíî ÷èòàòü íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ ãëàâ. Êîíå÷íî,
çíàêîìûé ñ ñîäåðæàíèåì ãëàâû 2 ×èòàòåëü â ïðèâåäåííûõ êîíñòðóêöè-
ÿõ óçíàåò ïðèåì ïîñòðîåíèÿ òîïîëîãèè ñ ïîìîùüþ áàçû îêðåñòíîñòåé
íóëÿ è òîïîëîãèè, èíäóöèðîâàííîé ñèñòåìîé îòîáðàæåíèé, çíàêîìûé ñ
ñîäåðæàíèåì ãëàâû 3 â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû î ïîëíîòå ïðîñòðàíñòâà
ðàñïðåäåëåíèé óçíàåò âàðèàíò ïðèíöèïà ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè è
ò. ä. Îäíàêî äëÿ ïîíèìàíèÿ âñåõ (çà èñêëþ÷åíèåì òåîðåìû î ñóùåñòâîâà-
íèè ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñò-
íûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè) óòâåðæäåíèé äàííîé
ãëàâû âïîëíå äîñòàòî÷íî òåõ ñâåäåíèé èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è íà-
÷àë ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, êîòîðûå îáû÷íî ñîîáùàþòñÿ ñòóäåíòàì
íà ïåðâîì è âòîðîì êóðñàõ ôèçè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ óíèâåðñèòåòîâ. Òåî-
åìà î ñóùåñòâîâàíèè ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ îïèðàåòñÿ íà òåîðåìó
Õàíà-Áàíàõà, êîòîðóþ ìîæíî ïðèíÿòü áåç äîêàçàòåëüñòâà.



6.1    Ïðîñòðàíñòâî ïðîáíûõ ôóíêöèé.


 òåîðèè ðàñïðåäåëåíèé îñíîâíûìè ÿâëÿþòñÿ äâà îáúåêòà: ïðîñòðàíñòâî
ïðîáíûõ ôóíêöèé è ïðîñòðàíñòâî ðàñïðåäåëåíèé. Ïðîñòðàíñòâî ïðîá-
íûõ ôóíêöèé -ýòî ÷àùå âñåãî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L, íà êîòîðîì çà-
äàíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî íîðì


                 k kα : L 3 x 7→ kxkα ∈ R1+ , α ∈ I.

                                397