Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 411 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ
S(R
1
)
∀N : kφ | (N , S)k < ∞.
∀(m ≤ N , p ≤ N) : |D
m
x
φ(x)| ≤ (1 + x
2
)
−p/2
kφ | (N , S)k.
S(R
1
)
exp(−x
2
) , 1/ ch(x) , exp(−(1 + x
2
)
α
) , α > 0.
S(R
1
)
S(R
1
)
S(R
1
)
∀(φ , ψ ∈ S(R
1
)) : αφ + βψ ∈ S(R
1
).
S(R
1
)
∀(φ(x) ∈ S(R
1
) , ψ(x) ∈ S(R
1
)) : φ(x) · ψ(x) ∈ S(R
1
).
φ(x) ∈ S(R
1
) D
m
φ(x) ∈ S(R
1
)
kD
m
φ | (N , S)k ≤ kφ | (N + m , S)k.
φ(x) ∈ S(R
1
) P(x) P(x)φ(x) ∈ S(R
1
)
φ(x) ∈ S(R
1
)
ψ(x)
|x|
∀m , ∃(C(m) , n(m)) , ∀x : |D
m
x
ψ(x)| < C(m)(1 + |x|)
n(m)
,
ψ(x)φ(x) ∈ S(R
1
)
R
d
F (φ)(ξ) :=
Z
···
Z
exp(−ixξ)φ(x)dx ,
x = (x
1
, . . . x
d
) , dx = dx
1
. . . dx
d
,
xξ = x
1
ξ
1
+ . . . + x
d
ξ
d
,
Îïðåäåëåíèå 6.1.2. Ôóíêöèÿ φ ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Øâàðöà
S(R1 ), åñëè
                               ∀N : kφ | (N , S)k < ∞.                            (6.3)

   Îòìåòèì ïîëåçíîå íåðàâåíñòâî

          ∀(m ≤ N , p ≤ N ) : |Dxm φ(x)| ≤ (1 + x2 )−p/2 kφ | (N , S)k.

Ñëåäóþùèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó S(R1 ):

                 exp(−x2 ) , 1/ ch(x) , exp(−(1 + x2 )α ) , α > 0.

Ñâîéñòâà ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà S(R ).                   1


Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå î÷åâèäíûå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà S(R1 ).

Ëåììà 6.1.1. 1. Ïðîñòðàíñòâî S(R ) -ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî:
                                               1


                      ∀(φ , ψ ∈ S(R1 )) : αφ + βψ ∈ S(R1 ).

2. Ïðîñòðàíñòâî      S(R1 )    åñòü àëãåáðà îòíîñèòåëüíî ïîòî÷å÷íîãî óìíî-
æåíèÿ ôóíêöèé:

            ∀(φ(x) ∈ S(R1 ) , ψ(x) ∈ S(R1 )) : φ(x) · ψ(x) ∈ S(R1 ).

3. Åñëè   φ(x) ∈ S(R1 ),   òî   Dm φ(x) ∈ S(R1 ),      ïðè÷åì

                      kDm φ | (N , S)k ≤ kφ | (N + m , S)k.                       (6.4)

   4. Åñëè     φ(x) ∈ S(R1 )   è   P(x)-ëþáîé      ïîëèíîì, òî     P(x)φ(x) ∈ S(R1 ).

   Ýòî ñâîéñòâî ìîæíî óòî÷íèòü: î÷åâèäíî, ÷òî åñëè φ(x) ∈ S(R1 ) è
ψ(x)-ëþáàÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ âìåñòå ñî
âñåìè ïðîèçâîäíûìè ðàñòåò íå áûñòðåå ñòåïåíè |x|:

          ∀m , ∃(C(m) , n(m)) , ∀x : |Dxm ψ(x)| < C(m)(1 + |x|)n(m) ,

òî ψ(x)φ(x) ∈ S(R1 ).
   Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå â ïðîñòðàíñòâå Rd :
                            Z     Z
                 F (φ)(ξ) := · · · exp(−ixξ)φ(x)dx ,

                     x = (x1 , . . . xd ) , dx = dx1 . . . dxd ,
                     xξ = x1 ξ1 + . . . + xd ξd ,

                                           399

Страницы