Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 413 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x ∈
R
1
|D
m
x
F (φ)(x)| =
Z
+∞
−∞
exp(−ixy)y
m
φ(y)dy
,
(1 + x
2
)
p/2
D
m
x
F (φ)(x)
≤
(1 + x
2
)
p
D
m
x
F (φ)(x)
=
Z
+∞
−∞
((1 − D
2
y
)
p
exp(−ixy))y
m
φ(y)dy
≤
Z
+∞
−∞
|(1 − D
2
y
)
p
y
m
φ(y)|dy
.
C(p , m)
∀y : |(1 − D
2
y
)
p
y
m
φ(y)| ≤ C(p , m)(1 + y
2
)
−1
kφ | (2p + m + 2 , S)k.
∀(m , p) : sup{
(1 + x
2
)
p
D
m
F (φ)(x)
| x ∈ R
1
}
≤ C(p , m)
0
kφ | (2p + m + 2 , S)k,
φ , ψ ∈ S(R
1
)
φ ∗ ψ(x) :=
Z
+∞
−∞
φ(y)ψ(x − y)dy
S(R
1
)
R
d
.
R
d
.
x = (x
1
, x
2
, . . . x
d
);
m = (m
1
, m
2
, . . . m
d
) , |m| = m
1
+ m
2
+ ···m
d
.
D
m
x
= (−i∂
x
1
)
m
1
(−i∂
x
2
)
m
2
. . . (−i∂
x
d
)
m
d
.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü x ∈
R . Èìååì:
 1
                           Z +∞
             m
           |Dx F (φ)(x)| =      exp(−ixy)y m φ(y)dy ,
                                   −∞
                     2 p/2    m
              (1 + x )                ≤ (1 + x2 )p Dxm F (φ)(x) =
                             Dx F (φ)(x)
              Z +∞
                   ((1 − Dy2 )p exp(−ixy))y m φ(y)dy
                −∞

(èíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì )
              Z +∞
           ≤       |(1 − Dy2 )p y m φ(y)|dy .
                   −∞

Íî î÷åâèäíî (âñïîìíèì ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäíîé îò ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ
ôóíêöèé), ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà C(p , m), ÷òî ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî
     ∀y : |(1 − Dy2 )p y m φ(y)| ≤ C(p , m)(1 + y 2 )−1 kφ | (2p + m + 2 , S)k.
Èç ýòîãî è ïðåäûäóùåãî íåðàâåíñòâ ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
                ∀(m , p) : sup{ (1 + x2 )p Dm F (φ)(x) | x ∈ R1 }
                 ≤ C(p , m)0 kφ | (2p + m + 2 , S)k,
èç êîòîðîãî è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.
   Òàê êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ñâåðòêè äâóõ ôóíêöèé åñòü ïðîèç-
âåäåíèå ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå ýòèõ ôóíêöèé, òî èç äîêàçàííîé ëåììû
âûòåêàåò
Ñëåäñòâèå 6.1.1. Åñëè φ , ψ ∈ S(R ), òî èõ ñâåðòêà:
                                            1

                                      Z    +∞
                        φ ∗ ψ(x) :=             φ(y)ψ(x − y)dy
                                       −∞

ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó            S(R1 ).

Ïðîñòðàíñòâî Øâàðöà ôóíêöèé â R .                   d


Óêàæåì, êàêèå èçìåíåíèÿ íóæíî ñäåëàòü â ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíè-
ÿõ, ÷òîáû ðàññìîòðåòü ïðîñòðàíñòâî Øâàðöà ôóíêöèé â Rd . Ïîëîæèì â
ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèÿõ
               x = (x1 , x2 , . . . xd );                                     (6.7)
               m = (m1 , m2 , . . . md ) , |m| = m1 + m2 + · · · md .         (6.8)
               Dxm = (−i∂x1 )m1 (−i∂x2 )m2 . . . (−i∂xd )md .                 (6.9)

                                           401

Страницы