Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 414 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

0 ≤ m ≤ N 0 ≤ |m| ≤ N
R
d
D
2
y
∆
y
∀(ξ ∈ R
d
) : ξ
m
= ξ
m
1
1
ξ
m
2
2
. . . ξ
m
d
d
.
R
d
.
kφ | (N , S)k :=
X
0≤|m|≤N,
0≤p≤N.
sup{(1 + x
2
)
p/2
|D
m
x
φ(x)| | x ∈ R
d
}.
S(R
d
)
S(R
d
)
{φ
n
} ⊂ S(R
d
)
φ ∈ S S(R
d
)
∀N : k(φ
n
− φ) | (N , S)k → 0 , n → ∞.
S(R
d
)
φ
n
S
→ φ , n → ∞.
∀(φ , ψ ∈ S) : d
S
(φ , ψ) :=
X
0≤N<∞
1
2
N
k(φ − ψ) | (N , S)k
1 + k(φ − ψ) | (N , S)k
.
d
S
(φ
n
, φ) → 0 , n → ∞.
S
exp(−(nx
2
+ x
−2
)) , (exp(−x
2
/n) − 1)φ(x) , φ ∈ S(R
d
),
(1/n)
100
exp(−nx
2
)
S(R
d
)
Äàëåå â ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèÿõ íóæíî çàìåíèòü ñóììèðîâàíèå ïî
èíäåêñàì 0 ≤ m ≤ N íà ñóììèðîâàíèå ïî èíäåêñàì 0 ≤ |m| ≤ N ,
èíòåãðàë ïî ïðÿìîé íóæíî çàìåíèòü íà èíòåãðàë ïî ïðîñòðàíñòâó Rd ,
îïåðàòîð Dy2 íóæíî çàìåíèòü íà îïåðàòîð Ëàïëàñà ∆y . Âñå îñòàëüíûå
ðàññóæäåíèÿ è ôîðìóëû îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ.
   Ôîðìóëà (6.5) âåðíà è â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå, åñëè ïîëîæèòü ïî îïðå-
äåëåíèþ
                    ∀(ξ ∈ Rd ) : ξ m = ξ1m1 ξ2m2 . . . ξdmd .
   Íèæå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàøè ðàññóæäåíèÿ îòíîñÿòñÿ ê ïðî-
ñòðàíñòâó Øâàðöà ôóíêöèé â Rd . Òàêèì îáðàçîì, â äàëüíåøåì ìû ïî-
ëàãàåì
                      X
     kφ | (N , S)k :=   sup{(1 + x2 )p/2 |Dxm φ(x)| | x ∈ Rd }. (6.10)
                      0≤|m|≤N,
                       0≤p≤N.



6.1.2     Ñõîäèìîñòü â ïðîñòàíñòâå              S(Rd ).
Ââåäåì ïîíÿòèå ñõîäÿùåéñÿ â ïðîñòðàíñòâå S(Rd ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Îïðåäåëåíèå 6.1.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {φ } ⊂ S(R ) ñõîäèòñÿ ê ôóíê-
                                                n
                                                          d

öèè φ ∈ S â ïðîñòðàíñòâå S(R ), åñëè
                                 d


                  ∀N : k(φn − φ) | (N , S)k → 0 , n → ∞.            (6.11)
   Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå S(Rd ) (óñëîâèå (6.11)) ìû áóäåì îáîçíà-
÷àòü òàê:
                             S
                         φn → φ , n → ∞.
Ïîëîæèì
                                    X  1 N k(φ − ψ) | (N , S)k
     ∀(φ , ψ ∈ S) : dS (φ , ψ) :=                                   .
                                  0≤N <∞
                                         2  1 + k(φ − ψ) | (N , S)k

ßñíî, ÷òî óñëîâèå (6.11) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ
                          dS (φn , φ) → 0 , n → ∞.
×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ ïðîâåðèòü, ÷òî ñëåäóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ñõîäÿòñÿ ê íóëþ â ïðîñòðàíñòâå S :
        exp(−(nx2 + x−2 )) , (exp(−x2 /n) − 1)φ(x) , φ ∈ S(Rd ),    (6.12)
à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                             (1/n)100 exp(−nx2 )
íå ñõîäèòñÿ ê íóëþ â ïðîñòðàíñòâå S(Rd ).

                                     402

Страницы