Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 416 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A : S 7→ S
∀N , ∃(C(N) , M(N)) , ∀φ ∈ S :
kA(φ) | (N , S)k ≤ C(N)kφ | (M(N) , S)k.
A
N
0
φ
n
∈ S
kA(φ
n
) | (N
0
, S)k ≥ n
2
kφ
n
| (n , S)k.
ψ
n
= φ
n
/(nkφ
n
| (n , S)k) .
∀(n ≥ M) : kψ
n
| (M , S)k ≤ kψ
n
| (n , S)k = 1/n → 0 , n → ∞,
ψ
n
S
→ 0 , n → ∞.
kA(ψ
n
) | (N
0
, S)k ≥ n → ∞, n → ∞,
A
φ(x) 7→ φ(Ax + b) , A 6= 0,
S(R
d
)
D(R
d
)
K
1
K
2
K
1
b K
2
,
O
K
1
⊂ O ⊂ K
2
.
Òåîðåìà 6.1.2. Ëèíåéíûé îïåðàòîð
                                  A : S 7→ S
íåïðåðûâåí â ïðîñòðàíñòâå Øâàðöà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè

               ∀N , ∃(C(N ) , M (N )) , ∀φ ∈ S :
               kA(φ) | (N , S)k ≤ C(N )kφ | (M (N ) , S)k.                  (6.17)
   Äîêàçàòåëüñòâî. Â äîêàçàòåëüñòâå íóæäàåòñÿ òîëüêî íåîáõîäèìîñòü
óñëîâèÿ (6.17). Ïóñòü îïåðàòîð A íåïðåðûâåí, íî óñëîâèå (6.17) íå âû-
ïîëíåíî. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå N0 è òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü φn ∈ S ,
÷òî
                  kA(φn ) | (N0 , S)k ≥ n2 kφn | (n , S)k.
Ïîëîæèì
                          ψn = φn /(nkφn | (n , S)k) .
Òàê êàê
     ∀(n ≥ M ) : kψn | (M , S)k ≤ kψn | (n , S)k = 1/n → 0 , n → ∞,
òî
                                   S
                               ψn → 0 , n → ∞.
Íî
                  kA(ψn ) | (N0 , S)k ≥ n → ∞ , n → ∞,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà A. Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Èç äîêàçàíîé òåîðåìû âûòåêàåò
Òåîðåìà 6.1.3. Îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, óìíîæåíèÿ íà ïîëèíîì,
íåâûðîæäåííîé ëèíåéíîé çàìåíû ïåðåìåííûõ:

                         φ(x) 7→ φ(Ax + b) ,   detA   6= 0,
ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íåïðåðûâíû â
ïðîñòðàíñòâå   S(Rd ).

6.1.4     Ïðîñòðàíñòâî ïðîáíûõ ôóíêöèé                          D(Rd ).
Îïðåäåëåíèå 6.1.6. Êîìïàêòíîå ìíîæåñâî K                 1    ñòðîãî ñîäåðæèòñÿ â
êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå K2 :
                                   K1 b K2 ,
åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî O, ÷òî
                                K1 ⊂ O ⊂ K 2 .

                                       404

Страницы