Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 417 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

R
d
φ(x)
D(R
d
) φ(x)
φ(x)
∀(φ , φ b K) :
kφ | (N , D(R
d
) , K)k :=
X
0≤|m|≤N
sup{|D
m
x
φ(x)| | x ∈ K}.
(φ ∈ D(R
d
)) ⇔ (∃K , φ b K , ∀N : kφ | (N , D(R
d
) , K)k < ∞),
K R
d
D(R
d
)
t ∈ R
1
φ
0
(t) =
(
exp(−(1 − t
2
)
−2
) , |t| < 1,
0 , |t| ≥ 1.
C
C
Z
+∞
−∞
φ
0
(t)dt = 1
φ
1
(t) = C
Z
t
−∞
φ
0
(ξ)dξ,
κ(x , x
0
, R , ) = φ
1
((R
2
− (x − x
0
)
2
)/
2
).
κ(x , x
0
, R , )
∀x : 0 ≤ κ(x , x
0
, R , ) ≤ 1,
κ(x , x
0
, R , ) =
(
1 , (x − x
0
)
2
< R
2
−
2
,
0 , (x − x
0
)
2
> R
2
+
2
.
κ(x) = κ
1
(x
1
) . . . κ
d
(x
d
) , x = (x
1
, . . . x
d
) ∈ R
d
,
Îïðåäåëåíèå 6.1.7. Çàäàííàÿ â ïðîñòðàíñòâå R   ôóíêöèÿ φ(x) ïðè-d

íàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó D(R ), åñëè íîñèòåëü ôóíêöèè φ(x) êîìïàêòåí
                                    d

è ôóíêöèÿ φ(x) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà.
   Ïîëîæèì

        ∀(φ , suppφ b K) :
                                             X
        kφ | (N , D(Rd ) , K)k :=                    sup{|Dxm φ(x)| | x ∈ K}.
                                           0≤|m|≤N

Îïðåäåëåíèå 6.1.7 ýêâèâàëåíòíî ñëåäóåùåìó:

  (φ ∈ D(Rd )) ⇔ (∃K , suppφ b K , ∀N : kφ | (N , D(Rd ) , K)k < ∞),

ãäå K -êîìïàêòíîå â Rd ìíîæåñòâî.
   Ïðè ðàñìîòðåíèè ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà D(Rd ) ïîëåçíî èìåòü ïðè-
ìåð ôóíêöèè òèïà øàïî÷êà (èëè ãðèá). Ïðèâåäåì ïðèìåð òàêîé ôóíê-
öèè.
   Ïóñòü t ∈ R1 . Ïîëîæèì
                        (
                         exp(−(1 − t2 )−2 ) , åñëè |t| < 1,
               φ0 (t) =
                         0 , åñëè |t| ≥ 1.

Îïðåäåëèì êîíñòàíòó C èç óñëîâèÿ
                          Z +∞
                        C      φ0 (t)dt = 1
                                        −∞

è ïîëîæèì
                            Z   t
               φ1 (t) = C               φ0 (ξ)dξ,
                              −∞
               κ(x , x0 , R , ) = φ1 ((R2 − (x − x0 )2 )/2 ).                 (6.18)

Ôóíêöèÿ κ(x , x0 , R , ) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà è óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì:

             ∀x : 0 ≤ κ(x , x0 , R , ) ≤ 1,
                                 (
                                  1 , (x − x0 )2 < R2 − 2 ,
             κ(x , x0 , R , ) =
                                  0 , (x − x0 )2 > R2 + 2 .

Èíîãäà óäîáíåå ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ âèäà

             κ(x) = κ1 (x1 ) . . . κd (xd ) , x = (x1 , . . . xd ) ∈ Rd ,

                                             405

Страницы