Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 418 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

κ
j
(x
j
) = κ(x
j
, x
0,j
, R
j
,
j
) , x
j
∈ R
1
D(R
d
)
κ(x , x
0
, R , )
D(R
d
)
D(R
d
)
D(R
d
)
D(R
d
)
φ
n
∈ D(R
d
)
D(R
d
)
1. ∃K , ∀n : φ
n
b K , K − n,
2. ∀N : kφ
n
| (N , D(R
d
) , K)k → 0 , n → ∞.
φ
n
∈ D(R
d
) φ ∈ D(R
d
)
D(R
d
) (φ
n
−φ) ∈ D(R
d
)
D(R
d
)
φ
n
∈ D(R
d
)
D(R
d
)
1. ∃K , ∀n : φ
n
b K , K n,
2. ∀N : lim
n→∞
sup
m>0
kφ
n+m
− φ
n
| (N , D(R
d
) , K)k = 0.
φ
n
∈ D(R
d
)
D(R
d
) φ ∈ D(R
d
)
D(R
d
)
D(R
d
)
D(R
d
) S(R
d
)
S(R
d
)
D(R
d
)
D(R
d
)
ãäå
                    κj (xj ) = κ(xj , x0,j , Rj , j ) , xj ∈ R1
Òåïåðü ëåãêî ïðèâåñòè ïðèìåð ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà D(Rd ): äîñòà-
òî÷íî âçÿòü ëþáóþ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ è óìíî-
æèòü åå íà ôóíêöèþ κ(x , x0 , R , ).
   Äëÿ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà D(Rd ) ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ ëåì-
ìû 6.1.1, íî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè èç ïðîñòðàíñòâà D(Rd ) åñòü
öåëàÿ ôóíêöèÿ è íå ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó D(Rd ).

Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå D(R ).          d


Îïðåäåëåíèå 6.1.8. 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü φ   ∈ D(Rd ) ñõîäèòñÿ ê íóëþ
                                                        n
â ïðîñòðàíñòâå D(Rd ), åñëè âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ:

      1. ∃K , ∀n : suppφn b K , K − êîìïàêò è íå çàâèñèò îò n,     (6.19)
                             d
      2. ∀N : kφn | (N , D(R ) , K)k → 0 , n → ∞.                  (6.20)

2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü φn ∈ D(Rd ) ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè φ ∈ D(Rd ) â
ïðîñòðàíñòâå D(Rd ), åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (φn − φ) ∈ D(Rd ) ñõîäèòñÿ
ê íóëþ â ïðîñòðàíñòâå D(Rd ).
Îïðåäåëåíèå 6.1.9. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü φ     ∈ D(Rd ) ôóíäàìåíòàëüíà
                                                    n
â ïðîñòðàíñòâå D(Rd ), åñëè âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ:

       1. ∃K , ∀n : suppφn b K , K êîìïàêò è íå çàâèñèò îò n,      (6.21)
       2. ∀N : lim sup kφn+m − φn | (N , D(Rd ) , K)k = 0.         (6.22)
               n→∞ m>0

   Äîñëîâíûì ïîâòîðåíèåì ïðîâåäåííûõ äëÿ ïðîñòðàíñòâà Øâàðöà ðàñ-
ñóæäåíèé ëåãêî äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü φn ∈ D(Rd ) ñõîäèòñÿ
â ïðîñòðàíñòâå D(Rd ) ê ôóíêöèè φ ∈ D(Rd ) â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,
åñëè îíà ôóíäàìåíòàëüíà â ïðîñòðàíñòâå D(Rd ), íî äëÿ ïðîñòðàíñòâà
D(Rd ) íå ñóùåñòâóåò ìåòðèêè, êîòîðàÿ çàäàâàëà áû ñõîäèìîñòü.


6.2      Ðàñïðåäåëåíèÿ.

Òå ýëåìåíòàðíûå ôàêòû èç òåîðèè ðàñïðåäåëåíèé, êîòîðûå áóäóò äîêàçà-
íû íèæå, ôîðìóëèðóþòñÿ è äîêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâî è äëÿ ïðîñòðàíñòâà
D(Rd ), è äëÿ ïðîñòðàíñòâà S(Rd ). Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìû â îñíîâíîì
ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà S(Rd ), îñòàâèâ ÷èòàòåëþ ôîðìóëèðîâ-
êó è ïîëíûå äîêàçàòåëüñòâà äëÿ ñëó÷àÿ ïðîñòðàíñòâà D(Rd ) (êàê ïðàâè-
ëî, â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâà D(Rd ) äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî óïðîñòèòü).

                                        406

Страницы