Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 420 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

δ
f
y 7→ φ(y),
f φ
f
y
(φ(y))
f S(R
d
)
∃(N , C) , ∀(φ ∈ S(R
d
)) : |f(φ)| ≤ Ckφ | (N , S)k.
φ
n
∈ S
|f(φ
n
)| ≥ n
2
kφ
n
| (n , S)k.
ψ
n
= φ
n
/(nkφ
n
| (n , S)k) .
∀(n ≥ M) : kψ
n
| (M , S)k ≤ kψ
n
| (n , S)k = 1/n → 0 , n → ∞,
ψ
n
S
→ 0 , n → ∞.
|f(ψ
n
)| ≥ n → ∞, n → ∞,
f
f ∈ S(R
d
)
?
f
n
(x)
∀(φ ∈ S(R
d
)) : f(φ) = lim
n→∞
Z
f
n
(x)φ(x)dx.
ëèíååí è íåïðåðûâåí, íî îí íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê èíòåãðàë
Ðèìàíà îò ïðîèçâåäåíèÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèè è ôóíêöèè èç
ïðîñòðàíñòâà Øâàðöà.
   Çàäàâàåìûé ôîðìóëîé (6.25) ôóíêöèîíàë íàçûâàåòñÿ δ -ôóíêöèåé.
   Ïîçæå ìû äîêàæåì, ÷òî ëþáîå ìåäëåííî ðàñòóùåå ðàñïðåäåëåíèå
ìîæíî â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðåäñòàâèòü êàê ïðåäåë ðàñïðåäåëåíèé âè-
äà (6.24).
   Èíîãäà, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ôóíêöèîíàë f ïðèìåíÿåòñÿ ê ôóíê-
öèè
                             y 7→ φ(y),
çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà f íà ôóíêöèè φ ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì
fy (φ(y)).
Òåîðåìà 6.2.1. Ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë f íà ïðîñòðàíñòâå Øâàðöà S(R )                d

íåïðåðûâåí â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè

           ∃ (N , C) , ∀(φ ∈ S(Rd )) : |f (φ)| ≤ Ckφ | (N , S)k.           (6.26)

    Äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ (6.26) î÷åâèäíà èç îïðåäåëåíèÿ ñõîäèìîñòè
ê íóëþ â ïðîñòðàíñòâå Øâàðöà. Äîêàçàòåëüñòâî íåîáõîäèìîñòè óñëîâèÿ
(6.26) àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 6.1.2. Ïóñòü óñëîâèå (6.26) íå
âûïîëíåíî. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü φn ∈ S , ÷òî

                       |f (φn )| ≥ n2 kφn | (n , S)k.

Ïîëîæèì
                       ψn = φn /(nkφn | (n , S)k) .
Òàê êàê

     ∀(n ≥ M ) : kψn | (M , S)k ≤ kψn | (n , S)k = 1/n → 0 , n → ∞,

òî
                                S
                             ψn → 0 , n → ∞.
Íî
                       |f (ψn )| ≥ n → ∞ , n → ∞,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèîíàëà f . Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 6.2.2. Åñëè f ∈ S(R ) , òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
                              d ?

íîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñ êîìïàêòíûìè íîñèòåëÿìè               fn (x),   ÷òî
                                             Z
                         d
               ∀(φ ∈ S(R )) : f (φ) = lim        fn (x)φ(x)dx.             (6.27)
                                       n→∞



                                    408

Страницы