Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 421 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ ∈ S(R
d
) κ(x , x
0
, R , )
κ(x , 0 , R , 1)φ(x)
S
→ φ(x) , R → ∞.
k(κ(·, 0 , R , 1) − 1)φ | (N , S)k
≤ C(1 + R
2
)
−1
kφ | (N + 2 , S)k.
ω(x , a) =
a
π
d/2
exp(−ax
2
).
φ ∈ S(R
d
)
Z
ω(x − y , a)φ(y)dy
S
→ φ(x) , a → ∞.
B
N
S(R
d
) k | (N , S)k , φ(y) ∈ D(R
d
)
y ∈ R
d
ω(x − y , a)
x B
N
R
d
3 y → ω(x − y , a) ∈ B
N
,
y
B
N
ω(x − y , a)
y y = y
0
B
N
   Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ìû ïðåäïîøëåì íåñêîëüêî ëåìì.

Ëåììà 6.2.1. Åñëè φ ∈ S(R ) è ôóíêöèÿ κ(x , x
                                 d
                                                            0   , R , )   îïðåäåëåíà ðà-
âåíñòâîì   (6.18), òî

                                            S
                   κ(x , 0 , R , 1)φ(x) → φ(x) , R → ∞.                            (6.28)

   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî

                        k(κ(· , 0 , R , 1) − 1)φ | (N , S)k
                         ≤ C(1 + R2 )−1 kφ | (N + 2 , S)k.

Ïîëîæèì
                                       a d/2
                         ω(x , a) =              exp(−ax2 ).                       (6.29)
                                       π

Ëåììà 6.2.2. Åñëè φ ∈ S(R ), òî  d

                  Z
                                                S
                      ω(x − y , a)φ(y)dy → φ(x) , a → ∞.                           (6.30)

    Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû íóæíî âû÷èñëèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå
îò ïðàâîé ÷àñòè (6.30), âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèìåðîì (6.12) è íåïðåðûâíî-
ñòüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
    Ïóñòü BN -áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷åííîå ïîïîëíåíèåì ïðîñòðàí-
ñòâà S(Rd ) ïî íîðìå k | (N , S)k , φ(y) ∈ D(Rd ). Ïðè ôèêñèðîâàííîì
y ∈ Rd ôóíêöèÿ ω(x − y , a), ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé
x, ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó BN .

Ëåììà 6.2.3. Ôóíêöèÿ
                          Rd 3 y → ω(x − y , a) ∈ BN ,

ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé               y   ñî çíà÷åíèÿìè â áàíàõîâîì
ïðîñòðàíñòâå   BN ,   íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà.

   Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå
óïðàæíåíèÿ (ñëåäóåò ðàçëîæèòü ôóíêöèþ ω(x − y , a) â ðÿä Òåéëîðà
ïî y â îêðåñòíîñòè òî÷êè y = y0 , âîñïîëüçîâàòüñÿ èíòåãðàëüíîé ôîðìó-
ëîé äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ðÿäà Òåéëîðà è îöåíèòü íîðìó îñòàòî÷íîãî
÷ëåíà â ïðîñòðàíñòâå BN ).

                                        409

Страницы