Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 422 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

d = 1
J(x) =
Z
|y|≤R
ω(x − y , a)φ(y)dy , y ∈ R
1
,
y(j) = R(2j − n − 1)/(n + 1) , 0 ≤ j ≤ n + 1,
z(j) =
1
2
(y(j) + y(j + 1)) , 0 ≤ j ≤ n,
s
n
(x) =
2R
n + 1
X
0≤j≤n
ω(x − z(j))φ(z(j)).
∀N : k(J −s
n
) | (N , S)k ≤ C(N)/n.
k(J −s
n
) | (N , S)k =
k(
X
0≤j≤n
(
Z
y(j+1)
y(j)
(ω(x − y , a)φ(y) − ω(x −z(j) , a)φ(z(j)))dy)) | (N , S)k ≤
X
0≤j≤n
k(
Z
y(j+1)
y(j)
(ω(x − y , a)φ(y) − ω(x −z(j) , a)φ(z(j)))dy) | (N , S)k ≤
X
0≤j≤n
Z
y(j+1)
y(j)
k(ω(x − y , a)φ(y) − ω(x −z(j) , a)φ(z(j))) | (N , S)kdy ≤
const
n
.
k(ω(x − y , a)φ(y) − ω(x −z(j) , a)φ(z(j))) | (N , S)k ≤ const
1
|y −z(j)|.
φ
R , a
(x) =
Z
ω(x − y , a)κ(y , 0 , R , 1)φ(y)dy,
∀(f ∈ S(R
d
)
?
) : f(R , a , y) = f
x
(ω(x − y , a))κ(y , 0 , R , 1).
x
   ×òîáû íå çàãðîìîæäàòü èçëîæåíèå ñëîæíûìè îáîçíà÷åíèÿìè, äàëü-
íåéøåå äîêàçàòåëüñòâî ìû ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ d = 1. Ïóñòü
                    Z
             J(x) =      ω(x − y , a)φ(y)dy , y ∈ R1 ,
                                   |y|≤R

                      y(j) = R(2j − n − 1)/(n + 1) , 0 ≤ j ≤ n + 1,
                              1
                      z(j) = (y(j) + y(j + 1)) , 0 ≤ j ≤ n,
                              2
                                 2R X
                      sn (x) =              ω(x − z(j))φ(z(j)).
                                n + 1 0≤j≤n

Ëåììà 6.2.4. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà
                             ∀N : k(J − sn ) | (N , S)k ≤ C(N )/n.               (6.31)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâû îöåíêè:

k(J − sn ) | (N , S)k =
   X Z y(j+1)
k(     (         (ω(x − y , a)φ(y) − ω(x − z(j) , a)φ(z(j)))dy)) | (N , S)k ≤
  0≤j≤n     y(j)

 X Z             y(j+1)
  k(                      (ω(x − y , a)φ(y) − ω(x − z(j) , a)φ(z(j)))dy) | (N , S)k ≤
0≤j≤n       y(j)

 X Z       y(j+1)
                     k(ω(x − y , a)φ(y) − ω(x − z(j) , a)φ(z(j))) | (N , S)kdy ≤
0≤j≤n     y(j)

const
      .
  n
Ìû âîñïîëüçîâàëèñü âûòåêàþùåé èç ëåììû 6.2.3 îöåêîé

 k(ω(x − y , a)φ(y) − ω(x − z(j) , a)φ(z(j))) | (N , S)k ≤ const1 |y − z(j)|.

Ëåììà äîêàçàíà.
  Ïîëîæèì
                            Z
          φR , a (x) =          ω(x − y , a)κ(y , 0 , R , 1)φ(y)dy,

          ∀(f ∈ S(Rd )? ) : f (R , a , y) = fx (ω(x − y , a))κ(y , 0 , R , 1).

Íàïîìíèì, ÷òî èíäåêñ ó ñèìâîëà ôóíêöèîíàëà îçíà÷àåò, ÷òî îí ïðèìå-
íÿåòñÿ ïî ïåðåìåííîé x.
   Èç ëåìì 6.2.4 è 6.2.3 ñëåäóåò

                                               410

Страницы