Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 423 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f
x
(φ
R , a
(x)) =
Z
f(R , a , y)φ(y)dy.
f(φ) = lim
R→∞,
a→∞
f(φ
R , a
) = lim
R→∞,
a→∞
Z
f(R , a , y)φ(y)dy.
δ δ
n
δ(φ) = lim
n→∞
Z
δ
n
(x)φ(x)dx.
lim
n→∞
Z
δ
n
(x)φ(x)dx ≡
Z
δ(x)φ(x)dx.
δ(x)
δ(x)
x
h(x)
Z
δ(h(x))φ(x)dx
def
= lim
n→∞
Z
δ
n
(h(x))φ(x)dx,
δ
n
{f
n
} ⊂ S(R
d
)
?
f ∈ S(R
d
)
?
∀(φ ∈ S(R
d
)) : lim
n→∞
f
n
(φ) = f(φ).
f
n
S
?
→ f.
Ëåììà 6.2.5. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                       Z
                   fx (φR , a (x)) =        f (R , a , y)φ(y)dy.

   Òåïåðü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû òðèâèàëüíî. Èìååì:
                                         Z
           f (φ) = lim f (φR , a ) = lim   f (R , a , y)φ(y)dy.
                    R→∞,                   R→∞,
                    a→∞                    a→∞

   Ïóñòü ôóíêöèîíàë δ îïðåäåëåí ðàâåíñòâîì (6.25), δn -ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,
óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ
                                Z
                     δ(φ) = lim   δn (x)φ(x)dx.                  (6.32)
                                n→∞

Çàïèñü ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (6.32) ìîæíî óïðîñòèòü, ïîëàãàÿ ïî îïðå-
äåëåíèþ               Z                Z
                   lim     δn (x)φ(x)dx ≡          δ(x)φ(x)dx.        (6.33)
                   n→∞

Ñèìâîë δ(x) â (6.33) íå åñòü îáîçíà÷åíèå ôóíêöèè è ñèìâîë èíòåãðàëà
â ïðàâîé ÷àñòè (6.33) íå åñòü îáîçíà÷åíèå èíòåãðàëà Ðèìàíà: ñèìâîë
δ(x) åñòü îáîçíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà, êîòîðûé äåéñòâóåò íà ôóíêöèþ îò
ïåðåìåííîé x ïî ïðàâèëó, çàäàâàåìîìó ëåâîé ÷àñòüþ ðàâåíñòâà (6.33),
à ñèìâîë èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (6.33) óêàçûâàåò íà òî,
÷òî ôóíêöèîíàë ìîæåò áûòü âû÷èñëåí êàê ïðåäåë èíòåãðàëîâ. Òàêàÿ
ñèñòåìà îáîçíà÷åíèé ñëîæèëàñü èñòîðè÷åñêè è óäîáíà.
   Ñëåäóÿ ñìûñëó ýòèõ îáîçíà÷åíèé, äëÿ óäîâëåòâîðÿþùåé ðàçóìíûì
óñëîâèÿì ôóíêöèè h(x) ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò
               Z                      Z
                               def
                 δ(h(x))φ(x)dx = lim    δn (h(x))φ(x)dx,      (6.34)
                                           n→∞

ãäå δn -óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (6.32) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.

6.2.2    Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå ðàñïðåäåëåíèé.

Îïðåäåëåíèå 6.2.2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìåäëåííî ðàñòóùèõ ðàñïðå-
äåëåíèé {fn } ⊂ S(Rd )? ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ f ∈ S(Rd )? , åñëè

                    ∀(φ ∈ S(Rd )) : lim fn (φ) = f (φ).               (6.35)
                                           n→∞

   Ñõîäèìîñòü ðàñïðåäåëåíèé (óñëîâèå (6.35)) ìû áóäåì îáîçíà÷àòü òàê:
                                           S?
                                   fn → f.

                                           411

Страницы