Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 425 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(j > k) : kφ
(2 , j)
| (k , S)k < 2
−j
.
f
(3 , 1)
= f
(2 , 1)
, φ
(3 , 1)
= φ
(2 , 1)
.
{f
(3 , p)
, φ
(3 , p)
} , p ≤ j
j
0
∀(k > j
0
) : |f
(2 , k)
(φ
(2 , k)
)| >
X
1≤i≤j
m(φ
(3 , i)
| M) + j + 1
j
1
∀(k > j
1
, i ≤ j) : |f
(2 , i)
(φ
(2 , k)
)| < 2
−j
f
(3 , j+1)
= f
(2 , n(j))
, φ
(3 , j+1)
= φ
(2 , n(j))
, n(j) = max(j
0
, j
1
).
ψ =
X
1≤j<∞
φ
(3 , j)
.
S(R
d
)
{φ
(3 , j)
} ⊂ {φ
(2 , j)
}
|f
(3 , j+1)
(ψ)| ≥ |f
(3 , j+1)
(φ
(3 , j+1)
)|−
X
1≤i≤j
|f
(3 , j+1)
(φ
(3 , i)
)| −
X
j+1<i<∞
|f
(3 , j+1)
(φ
(3 , i)
)| > j.
ψ ∈ S(R
d
)
f
φ ∈ S(R
d
)
f
n
(φ)
∀(φ ∈ S(R
d
)) : sup{|f
n
(φ)| | n ∈ Z} < ∞.
|f(φ)| ≤ sup{|f
n
(φ)| | n ∈ Z} → 0 , φ
S
→ 0.
òàê êàê
                          ∀(j > k) : kφ(2 , j) | (k , S)k < 2−j .
Äàëüíåéøèå ïîñòðîåíèÿ ïðîâåäåì ïî èíäóêöèè. Ïîëîæèì
                             f(3 , 1) = f(2 , 1) , φ(3 , 1) = φ(2 , 1) .
Ïóñòü ýëåìåíòû {f(3 , p) , φ(3 , p) } , p ≤ j óæå âûáðàíû. Äàëåå îïðåäåëèì
íîìåð j0 èç óñëîâèÿ
                                                X
          ∀(k > j0 ) : |f(2 , k) (φ(2 , k) )| >   m(φ(3 , i) | M ) + j + 1
                                                    1≤i≤j

è îïðåäåëèì íîìåð j1 èç óñëîâèÿ
                       ∀(k > j1 , i ≤ j) : |f(2 , i) (φ(2 , k) )| < 2−j
Ïîëîæèì
          f(3 , j+1) = f(2 , n(j)) , φ(3 , j+1) = φ(2 , n(j)) , n(j) = max(j0 , j1 ).
Ïóñòü                                         X
                                      ψ=              φ(3 , j) .
                                             1≤j<∞

Ñõîäèìîñòü ðÿäà â ïðîñòðàíñòâå S(Rd ) ñëåäóåò èç îöåíêè (6.39), òàê êàê
ïî ïîñòðîåíèþ {φ(3 , j) } ⊂ {φ(2 , j) }. Äàëåå èìååì:
              |f(3 , j+1) (ψ)| ≥ |f(3 , j+1) (φ(3 , j+1) )|−
               X                                 X
                      |f(3 , j+1) (φ(3 , i) )| −          |f(3 , j+1) (φ(3 , i) )| > j.
              1≤i≤j                            j+1

Страницы