Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 427 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z
∞
−∞
1
x − i
φ(x)dx =
Z
|x|<1
1
x − i
φ(x)dx +
Z
|x|>1
1
x − i
φ(x)dx =
Z
|x|<1
1
x − i
(φ(x) − φ(0))dx + φ(0)
Z
|x|<1
x + i
x
2
+
2
dx
+
Z
|x|>1
1
x − i
φ(x)dx.
lim
→0
Z
|x|<1
1
x − i
(φ(x) − φ(0))dx =
Z
|x|<1
1
x
(φ(x) − φ(0))dx,
lim
→0
Z
|x|>1
1
x − i
φ(x)dx =
Z
|x|>1
1
x
φ(x)dx,
lim
→0
Z
|x|<1
x + i
x
2
+
2
dx = iπ.
lim
→0
Z
∞
−∞
1
x − i
φ(x)dx = iπφ(0) + P
1
x
(φ),
P
1
x
(φ) =
Z
|x|<1
1
x
(φ(x) − φ(0))dx +
Z
|x|>1
1
x
φ(x)dx.
1
x ∓ i
S
?
→
±iπδ(x) + P
1
x

, → 0.
S(R
d
)
?
1
x ∓ i0
= ±iπδ + P
1
x
.
Èìååì:
            Z   ∞
                     1
                        φ(x)dx =
             −∞ x − i
            Z                       Z
                      1                      1
                          φ(x)dx +                φ(x)dx =
             |x|<1 x − i            |x|>1 x − i
            Z                                      Z
                      1                                   x + i
                          (φ(x) − φ(0))dx + φ(0)           2    2
                                                                  dx
             |x|<1 x − i                           |x|<1 x + 
               Z
                        1
            +                φ(x)dx.
                |x|>1 x − i

Ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
           Z                                Z
                   1                               1
       lim              (φ(x) − φ(0))dx =            (φ(x) − φ(0))dx,
       →0 |x|<1 x − i                      |x|<1 x
           Z                      Z
                   1                     1
       lim              φ(x)dx =           φ(x)dx,
       →0 |x|>1 x − i            |x|>1 x
           Z
                 x + i
       lim               dx = iπ.
       →0 |x|<1 x2 + 2


Ñëåäîâàòåëüíî,
                      Z   ∞                                 
                                1                           1
                lim                  φ(x)dx = iπφ(0) + P       (φ),     (6.41)
                →0   −∞      x − i                        x
ãäå
                 Z                          Z
          1               1                          1
       P     (φ) =          (φ(x) − φ(0))dx +          φ(x)dx.          (6.42)
          x         |x|<1 x                    |x|>1 x

Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì:
                                     
                  1 S?                1
                       → ±iπδ(x) + P      ,  → 0.
                x ∓ i                x
Ýòî óòâåðæäåíèå íóæíî ïîíèìàòü â ñëåäóþùåì ñìûñëå: ðàñïðåäåëåíèå,
çàäàâàåìîå ñòîÿùåé â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ôóíêöèåé, ñõîäèòñÿ â ïðî-
ñòðàíñòâå S(Rd )? ê ðàñïðåäåëåíèþ, ñòîÿùåìó â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà.
Ýòî æå óòâåðæäåíèå ÷àñòî çàïèñûâàþò â âèäå:
                                           
                          1                1
                               = ±iπδ + P     .                (6.43)
                        x ∓ i0             x
Ôîðìóëû (6.43) íàçûâàþò ôîðìóëàìè Ñîõîöêîãî.

                                          415

Страницы