Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 428 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

n → ∞
f
n
(x) =
n
π
d/2
exp(−nx
2
) , x ∈ R
d
.
∀(φ ∈ S(R
d
)) :
Z
n
π
d/2
exp(−nx
2
)φ(x)dx = (π)
−d/2
Z
exp(−x
2
)φ(x/n)dx =
φ(0) + π
−d/2
Z
exp(−x
2
)(φ(x/n) − φ(0))dx → φ(0) , n → ∞.
n
π
d/2
exp(−nx
2
)
S
?
→ δ(x) , n → ∞.
n → ∞
f
n
(x) =
sin nx
πx
, x ∈ R
1
.
1
2π
Z
ω
−ω
exp(ixξ)dξ =
sin ωx
πx
F
sin ωx
πx
(ξ) =
(
1 , |ξ| < ω,
0 , |ξ| > ω.
∀(φ ∈ S(R
1
)) :
Z
∞
−∞
sin nx
πx
φ(x)dx =
1
2π
Z
|ξ|<n
F (φ)(ξ)dξ →
1
2π
Z
∞
−∞
F (φ)(ξ)dξ = φ(0) , n → ∞.
sin nx
πx
S
?
→ δ(x) , n → ∞.
C = (−∞, )
[
{z | z = exp(iθ) , π ≤ θ ≤ 2π}
[
( , ∞).
   2. Íàéäåì ïðåäåë ïðè n → ∞ ðàñïðåäåëåíèé, çàäàâàåìûõ ôóíêöèÿìè
                              n d/2
                  fn (x) =               exp(−nx2 ) , x ∈ Rd .
                                 π
Èìååì:
               Z  d/2                            Z
         d        n             2             −d/2
∀(φ ∈ S(R )) :          exp(−nx )φ(x)dx = (π)        exp(−x2 )φ(x/n)dx =
                  π
             Z
φ(0) + π −d/2 exp(−x2 )(φ(x/n) − φ(0))dx → φ(0) , n → ∞.

Ýòî ðàâåíñòâî çàïèñûâàþò òàê:
                   n d/2
                                            S?
                             exp(−nx2 ) → δ(x) , n → ∞.
                    π
3. Íàéäåì ïðåäåë ïðè n → ∞ ðàñïðåäåëåíèé, çàäàâàåìûõ ôóíêöèÿìè
                                       sin nx
                         fn (x) =             , x ∈ R1 .
                                         πx
Èç î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà
                             Z   ω
                         1                          sin ωx
                                     exp(ixξ)dξ =
                        2π   −ω                       πx

è ôîðìóëû äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ñëåäóåò, ÷òî
                                  (
                     sin ωx          1 , |ξ| < ω,
                 F            (ξ) =
                       πx            0 , |ξ| > ω.

Ïîýòîìó â ñèëó ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ èìååì:
                      Z ∞                     Z
                 1         sin nx           1
      ∀(φ ∈ S(R )) :              φ(x)dx =          F (φ)(ξ)dξ →
                        −∞ πx              2π |ξ|

Страницы