Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 429 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1
2πi
Z
C
exp(iaz)
z
dz =
(
1 , a > 0
0 , a < 0.
.
1
π
Z
∞
−∞
sin az
z
dz =
1
π
Z
C
sin az
z
dz = 1 , a > 0.
∀(φ ∈ S(R
1
)) :
1
π
Z
∞
−∞
sin nx
x
φ(x)dx =
1
π
Z
|x|<
sin nx
x
(φ(x) − φ(0))dx +
1
π
Z
|x|>
sin nx
x
φ(x)dx+
φ(0)
1
π
Z
|x|<
sin nx
x
(x)dx.
sup
n
1
π
Z
|x|<
sin nx
x
(φ(x) − φ(0))dx
≤
1
π
Z
|x|<
|φ(x) − φ(0)|
|x|
dx = O(),
1
π
Z
|x|>
sin nx
x
φ(x)dx → 0 , n → ∞,
φ(0)
1
π
Z
|x|<
sin nx
x
dx = φ(0)
1
π
Z
|x|<n
sin x
x
dx → φ(0) , n → ∞.
→ 0 , n → ∞, n → ∞.
exp(ixt)
(x + i0)
, t → ±∞.
∀(φ ∈ S(R
1
)) : lim
t→±∞
lim
→+0
Z
∞
−∞
exp(ixt)
(x + i)
φ(x)dx.
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû î âû÷åòàõ è ëåììû Æîðäàíà ñïðàâåäëèâî ðàâåí-
ñòâî                                  (
                      Z
                   1    exp(iaz)       1, a>0
                                 dz =             .
                  2πi      z           0 , a < 0.
                         C

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

              1 ∞ sin az
                Z               Z
                              1   sin az
                         dz =            dz = 1 , a > 0.
              π −∞ z          π C z

Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

                            1 ∞ sin nx
                              Z
                     1
          ∀(φ ∈ S(R )) :                φ(x)dx =
                            π −∞ x
            Z                                 Z
          1        sin nx                   1      sin nx
                          (φ(x) − φ(0))dx +               φ(x)dx+
          π |x|< x                         π |x|> x
                 Z
               1        sin nx
          φ(0)                 (x)dx.
               π |x|< x

Äàëåå èìååì:

                                                    |φ(x) − φ(0)|
           Z                                  Z
        1         sin nx                    1
  sup                    (φ(x) − φ(0))dx ≤                        dx = O(),
    n   π |x|< x                           π |x|<      |x|
     Z
  1         sin nx
                   φ(x)dx → 0 , n → ∞,
  π |x|> x
          Z                         Z
       1         sin nx           1       sin x
  φ(0)                  dx = φ(0)               dx → φ(0) , n → ∞.
       π |x|< x                  π |x|

Страницы