Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 430 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z
∞
−∞
exp(ixt)
x + i
φ(x)dx =
1
2π
Z
∞
−∞
F
exp(−ixt)
x − i
∗
(ξ)F (φ)(ξ)dξ.
F
exp(−ixt)
(x − i)
(ξ) =
Z
∞
∞
exp(−ix(t + ξ))
(x − i)
dx =
(
2πi exp((t + ξ)) , (t + ξ) < 0,
0 , (t + ξ) > 0.
lim
+0
Z
∞
−∞
exp(ixt)
x + i
φ(x)dx =
− i
Z
(t+ξ)<0
F (φ)(ξ)dξ →
(
−2πiφ(0) , t → −∞
0 , t → +∞.
exp(ixt)
(x + i0)
S
?
→
(
0 , t → +∞,
−2πiδ(x) , t → −∞.
f
n
(x) =
X
|k|≤n
exp(2πikx) , −∞ < x < ∞.
x ∈ R
1
.
f
n
(x)
∀(φ ∈ S(R
1
)) : f
n
(φ) =
Z
∞
−∞
f
n
(x)φ(x)dx =
X
−∞<m<∞
Z
m+1
m
f
n
(x)φ(x)dx =
Z
1
0
f
n
(x)
X
−∞<m<∞
φ(x + m)
!
dx =
X
|k|≤n
Z
1
0
exp(2πkx)
X
−∞<m<∞
φ(x + m)
!
dx
!
exp(−2πiky)
y=0
→
X
−∞<m<∞
φ(y + m)
!
y=0
, n → ∞.
Íà îñíîâå ðàâåíñòâà Ïàðñåâàëÿ èìååì:
      Z ∞                      Z ∞            ∗
          exp(ixt)           1       exp(−ixt)
                   φ(x)dx =       F               (ξ)F (φ)(ξ)dξ.
       −∞ x + i            2π −∞      x − i
Äàëåå èìååì:
                                             ∞  Z
                            exp(−ixt)            exp(−ix(t + ξ))
                    F                 (ξ) =                      dx =
                             (x − i)         ∞      (x − i)
                    (
                      2πi exp((t + ξ)) , (t + ξ) < 0,
                      0 , (t + ξ) > 0.
Ñëåäîâàòåëüíî,
                        Z   ∞
                        exp(ixt)
                lim               φ(x)dx =
                +0 −∞ x + i
                                         (
                                           −2πiφ(0) , t → −∞
                   Z
                −i          F (φ)(ξ)dξ →
                    (t+ξ)<0                0 , t → +∞.
Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:
                                        (
                             exp(ixt)    0 , t → +∞,
                                        S?
                                      →
                             (x + i0)    −2πiδ(x) , t → −∞.
5. Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
                        X
               fn (x) =   exp(2πikx) , −∞ < x < ∞.
                                   |k|≤n

Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íå èìååò ïðåäåëà íè â îäíîé òî÷êå x ∈ R1 . Äî-
êàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàñïðåäåëåíèé, çàäàâàåìûõ ôóíêöèÿìè
fn (x), èìååò ïðåäåë. Èìååì:
                             Z ∞
               1
     ∀(φ ∈ S(R )) : fn (φ) =     fn (x)φ(x)dx =
                              −∞
                                                          !
        X Z m+1                     Z 1         X
                    fn (x)φ(x)dx =      fn (x)    φ(x + m) dx =
    −∞

Страницы