Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 432 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

m f ∈ S(R
d
)
?
D
m
f : ∀(φ ∈ S(R
d
)) , D
m
f(φ) = (−1)
|m|
f(D
m
φ).
S(R
d
) 3 φ 7→ D
m
φ ∈ S(R
d
)
S(R
d
) 3 φ 7→ (−1)
|m|
f(D
m
φ) ∈ C
1
S(R
d
)
S(R
d
)
?
f
n
S
?
→ 0 , n → ∞,
∀(φ ∈ S(R
d
)) : D
m
f
n
(φ) = (−1)
|m|
f
n
(D
m
φ) → 0 , n → ∞,
D
m
f
n
S
?
→ 0 , n → ∞.
θ ∈ S(R
1
)
?
θ(x) =
(
1 , x > 0,
0 , x < 0.
∀(φ ∈ S(R
1
)) : iDθ(φ = −θ(iDφ) = −
Z
∞
0
d
dx
φ(x)dx = φ(0).
d
dx
θ(x) = δ(x).
Îïðåäåëåíèå 6.2.5. Ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà m ðàñïðåäåëåíèÿ f ∈ S(R )            d ?

íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó:
                                               def
               Dm f : ∀(φ ∈ S(Rd )) , Dm f (φ) = (−1)|m| f (Dm φ).       (6.46)

     Òàê êàê îòîáðàæåíèå

                           S(Rd ) 3 φ 7→ Dm φ ∈ S(Rd )

íåïðåðûâíî, îòîáðàæåíèå

                       S(Rd ) 3 φ 7→ (−1)|m| f (Dm φ) ∈ C1

åñòü êîìïîçèöèÿ ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé è ïîýòîìó åñòü
ëèíåéíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, íàøå îïðåäåëåíèå
êîððåêòíî: ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (6.46) äåéñòâèòåëüíî çàäàåò ëèíåé-
íûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå S(Rd ).
Òåîðåìà 6.2.7. Îïåðàöèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ íåïðåðûâíà ïðîñòðàíñòâå
S(Rd )? .
     Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè
                                   S?
                                fn → 0 , n → ∞,

òî
            ∀(φ ∈ S(Rd )) : Dm fn (φ) = (−1)|m| fn (Dm φ) → 0 , n → ∞,
ïîýòîìó
                                     S?
                              Dm fn → 0 , n → ∞.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ðàññìîòðì ïðèìåðû.
   1. Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå θ ∈ S(R1 )? çàäàåòñÿ ôóíêöèåé
                               (
                                 1 , x > 0,
                        θ(x) =
                                 0 , x < 0.

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ èìååì:
                                         Z ∞
               1                              d
      ∀(φ ∈ S(R )) : iDθ(φ = −θ(iDφ) = −        φ(x)dx = φ(0).
                                          0  dx
Ñëåäîâàòåëüíî,
                                  d
                                    θ(x) = δ(x).
                                 dx
                                        420

Страницы