Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 434 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x) δ
f(x)
f
0
loc
(x)
|x|
∀(φ ∈ S(R
1
)) : <
d
dx
|x| | φ(x) >= −
Z
∞
−∞
|x|
dφ(x)
dx
dx =
−
Z
∞
0
x
dφ(x)
dx
dx +
Z
0
−∞
x
dφ(x)
dx
dx =
Z
(x)φ(x)dx,
(x) =
(
1 , x > 0,
−1 , x < 0.
d|x|
dx
= (x).
|x| (x) =
2θ(x) − 1
d
2
|x|
dx
2
= 2δ(x).
1
x−i0
<
d
dx
1
x − i0
| φ(x) >= − <
1
x − i0
|
d
dx
φ(x) >=
− iπφ
0
(x)
x=0
−
Z
|x|<1
φ
0
(x) − φ
0
(0)
x
dx −
Z
|x|>1
φ
0
(x)
x
dx =
− iπφ
0
(x)
x=0
− lim
→0
Z
<|x|<∞
φ
0
(x)
x
dx =
− iπφ
0
(x)
x=0
− lim
→0
Z
<|x|<∞
1
x
d(φ(x) − φ(0)) =
− iπφ
0
(x)
x=0
− lim
→0
Z
<|x|<∞
φ(x) − φ(0)
x
2
dx.
Ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå: ïðîèçâîäíàÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâà-
åìîãî ôóíêöèåé f (x), åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ δ -ôóíêöèé, ñîñðåäîòî-
÷åííûõ â òî÷êàõ ðàçðûâà ôóíêöèè f (x) è ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî
ôóíêöèåé floc
           0
              (x).
   3. Íàéäåì ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî
ôóíêöèåé |x|. Èìååì:
                                                Z ∞
                    1         d                          dφ(x)
         ∀(φ ∈ S(R )) : <       |x| | φ(x) >= −      |x|       dx =
                             dx                   −∞      dx
            Z ∞               Z 0               Z
                   dφ(x)              dφ(x)
         −       x       dx +       x       dx = sign(x)φ(x)dx,
             0      dx          −∞     dx
ãäå                                        (
                                             1 , x > 0,
                             sign(x) =
                                            −1 , x < 0.
Ñëåäîâàòåëüíî,
                             d|x|
                                  = sign(x).
                              dx
Äàííîå ðàâåíñòâî íóæíî ïîíèìàòü òàê: ïðîèçâîäíàÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, çà-
äàâàåìîãî ôóíêöèåé |x|, åñòü ðàñïðåäåëåíèå, çàäàâàåìîå ôóíêöèåé sign(x) =
2θ(x) − 1.
   Èñïîëüçóÿ ðåøåíèå ïðåäûäóùåé çàäà÷è, íàõîäèì:
                                      d2 |x|
                                             = 2δ(x).
                                       dx2
3. Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ðàñïðåäåëåíèÿ x−i0    1
                                               . Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, èìå-
åì:
                                                  
             d     1                             1        d
         <               | φ(x) >= − <                 |     φ(x) >=
            dx x − i0                         x − i0     dx
                              φ0 (x) − φ0 (0)            φ0 (x)
                          Z                         Z
               0
         − iπφ (x)     −                      dx −              dx =
                   x=0               x                     x
                              |x|<1                         |x|>1
                                       Z        0
                                               φ (x)
          − iπφ0 (x)         − lim                   dx =
                       x=0     →0               x
                                  <|x|<∞
                                       Z
                 0                             1
          − iπφ (x)          − lim               d(φ(x) − φ(0)) =
                       x=0     →0             x
                                  <|x|<∞

                                               φ(x) − φ(0)
                                       Z
                 0
          − iπφ (x)          − lim                         dx.
                       x=0     →0                 x2
                                  <|x|<∞



                                           422

Страницы