Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 435 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

d
dx
1
x − i0
= iπδ
0
(x) − P
1
x
2
,
P
1
x
2
P
1
x
2
(φ) := lim
→0
Z
<|x|<∞
φ(x) − φ(0)
x
2
dx.
δ
< D
m
δ | φ >= (−1)
|m|
< δ | D
m
φ >= (−1)
|m|
D
m
φ(x)
x=0
.
f ∈ S(R
d
)
?
f(x) ∈ S(R
d
)
f(x)
∀(φ ∈ S(R
d
)) : F (f)(φ) =
Z
F (f)(x)φ(x)dx =
Z
Z
exp(−ixy)f(y)dy
φ(x)dx =
Z
f(y)
Z
exp(−ixy)φ(x)dx
dy = f(F (φ)).
f ∈ S(R
d
)
?
F (f) ∈ S(R
d
)
?
∀(φ ∈ S(R
d
)) : F (f)(φ) = f(F (φ)).
S(R
d
)
?
3 f 7→ F (f) ∈ S(R
d
)
?
Ñëåäîâàòåëüíî,
                                                                          
                      d             1                 0                 1
                                               = iπδ (x) − P                     ,
                     dx           x − i0                                x2

ãäå ðàñïðåäåëåíèå P       1
                                      çàäàåòñÿ ôîðìóëîé:
                                  
                          x2

                             
                                                              φ(x) − φ(0)
                                                   Z
                         1
                 P                (φ) := lim                              dx.
                         x2                →0                    x2
                                              <|x|<∞


4. Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ îò δ -ôóíêöèè. Èìååì:

        < Dm δ | φ >= (−1)|m| < δ | Dm φ >= (−1)|m| Dm φ(x)                                .
                                                                                     x=0



Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ìåäëåííî ðàñòóùèõ ðàñïðåäåëåíèé.
Åñëè ðàñïðåäåëåíèå f ∈ S(Rd )? çàäàåòñÿ ôóíêöèåé f (x) ∈ S(Rd ), òî
ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f (x) çàäàåò ðàñïðåäåëåíèå ïî ôîðìóëå
                                                          Z
                              d
              ∀(φ ∈ S(R )) : F (f )(φ) = F (f )(x)φ(x)dx =
              Z Z                     
                       exp(−ixy)f (y)dy φ(x)dx =
              Z        Z                 
                 f (y)     exp(−ixy)φ(x)dx dy = f (F (φ)).


Ýòà ôîðìóëà ìîòèâèðóåò ñëåäóþùåå

Îïðåäåëåíèå 6.2.6. Ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ f ∈ S(R )                                  d ?

íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå F (f ) ∈ S(Rd )? , âû÷èñëÿåìîå ïî ôîðìóëå

                                                              def
                     ∀(φ ∈ S(Rd )) : F (f )(φ) = f (F (φ)).                                    (6.47)

   Êàê è âûøå, ëåãêî äîêàçûâåòñÿ, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî è ÷òî
îòîáðàæåíèå
                          S(Rd )? 3 f 7→ F (f ) ∈ S(Rd )?

íåïðåðûâíî.

                                                423

Страницы