Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 437 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

θ(x) −i
1
ξ−i0
F (θ(x))(ξ) = −i
1
ξ − i0
.
P
1
x
θ(|x|−)/x , →
0 P
1
x
lim
→0
Z
∞
−∞
θ(|x| − )
x
exp(−ixξ)dx =
− i
Z
∞
−∞
sin(xξ)
x
dx = −iπ (ξ).
D
?
(R
d
)
D
?
(R
d
)
D
?
(R
d
)
R
d
∀(x ∈ R
d
) : Λx = Ax + a , (A) 6= 0 , a ∈ R
d
.
{(A , a)}
A a ∈ R
d
(A
1
, a
1
) · (A
2
, a
2
) = (A
1
A
2
, A
1
a
2
+ a
1
).
R
d
R
d
(A , a)φ(x) = φ(Ax + a).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíê-
öèåé θ(x), åñòü ðàñïðåäåëåíèå −i ξ−i0
                                  1
                                      :

                                                  1
                             F (θ(x))(ξ) = −i          .
                                                ξ − i0

   4. Íàéäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ P x1 . Ýòî ðàñïðåäå-
                                                     

ëåíèå åñòü ïðåäåë ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíêöèåé θ(|x|−)/x ,→
0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ P x1 çàäàåòñÿ
                                                            

ôóíêöèåé, êîòîðàÿ åñòü ïðåäåë ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå
                             ∞
                          θ(|x| − )
                         Z
                   lim               exp(−ixξ)dx =
                   →0 −∞     x
                      Z ∞
                          sin(xξ)
                   −i             dx = −iπ sign(ξ).
                       −∞    x


Ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà D (R ).    ?   d


Îïðåäåëåíèå îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå D? (Rd ) è ñâîé-
ñòâà ýòîé îïåðàöèè ñîâïàäàþò ñ îïðåäåëåíèåì è ñâîéñòâàìè îïåðàöèè
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ìåäëåííî ðàñòóùèõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ìû íå îïðåäåëÿåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèé èç D? (Rd ).


6.2.6   Äåéñòâèå àôôèííîé ãðóïïû íà ðàñïðåäåëåíèÿ.

Íàïîìíèì, ÷òî àôôèííîé ãðóïïîé íàçûâàåòñÿ ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé
ïðîñòðàíñòâà Rd , êîòîðàÿ äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó

            ∀(x ∈ Rd ) : Λx = Ax + a , det(A) 6= 0 , a ∈ Rd .     (6.48)

Àôôèííóþ ãðóïïó ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ìíîæåñòâîì ïàð {(A , a)}, ãäå
A -íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, a ∈ Rd . Çàêîí êîìïîçèöèè â àôôèííîé
ãðóïïå çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì

               (A1 , a1 ) · (A2 , a2 ) = (A1 A2 , A1 a2 + a1 ).

Ôîðìóëà (6.48) îïðåäåëÿåò ëåâîå äåéñòâèå àôôèííîé ãðóïïû â Rd , êî-
òîðîå ïîðîæäàåò ëåâîå äåéñòâèå àôôèííîé ãðóïïû íà çàäàííûõ â Rd
ôóíêöèÿõ:
                      (A , a)φ(x) = φ(Ax + a).

                                       425

Страницы