Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 438 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

x 7→ f(x) φ 7→ f(φ)
x 7→ f(Ax + a)
φ 7→
Z
f(Ax + a)φ(x)dx = | (A)|
−1
Z
f(x)φ(A
−1
(x − a))dx =
| (A)|
−1
f
x
(φ(A
−1
(x − a))).
(f(A , a))(φ) = | (A)|
−1
f
x
(φ(A
−1
(x − a))).
(δ(A , a))(φ) = | (A)|
−1
δ
x
(φ(A
−1
(x − a)) =
| (A)|
−1
φ(−A
−1
a).
S D
f ∗ φ f φ
R
d
3 x 7→ f ∗ φ(x) :=
Z
f(y)φ(x − y)dy.
f ∗ φ(x) = lim
n→∞
f
n
∗ φ(x),
f
n
∀(φ ∈ S(R
d
)) : f(φ) = lim
n→∞
Z
f
n
(y)φ(y)dy.
Åñëè ôóíêöèÿ x 7→ f (x) ïîðîæäàåò ðàñïðåäåëåíèå φ 7→ f (φ), òî ôóíêöèÿ
x 7→ f (Ax + a) ïîðîæäàåò ðàñïðåäåëåíèå
           Z                             Z
      φ 7→ f (Ax + a)φ(x)dx = |det(A)|−1
                                           f (x)φ(A−1 (x − a))dx =

     |det(A)|−1 fx (φ(A−1 (x − a))).                              (6.49)

Ôîðìóëà (6.49) ïîðîæäàåò ïðàâîå äåéñòâèå àôôèííîé ãðóïïû íà ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ:

               (f (A , a))(φ) = |det(A)|−1 fx (φ(A−1 (x − a))).   (6.50)

Ýòà ôîðìóëà è ïðèíèìàåòñÿ çà ïðàâèëî çàìåíû ïåðåìåííûõ â ðàñïðå-
äåëåíèÿõ. Ïðèâåäåì ïðèìåð.

               (δ(A , a))(φ) = |det(A)|−1 δx (φ(A−1 (x − a)) =
               |det(A)|−1 φ(−A−1 a).

Íåêîòîðûå àâòîðû ñ÷èòàþò åñòåñòâåííûì ñîïîñòàâèòü ëåâîìó äåéñòâèþ
àôôèíîé ãðóïïû íà òî÷êè ïðîñòðàíñòâà ïðàâîå äåéñòâèå ãðóïïû íà
ôóíêöèè.  òàêîì ñëó÷àå äëÿ ñîõðàíåíèÿ ñâÿçè ìåæäó ôóíêöèÿìè è ïî-
ðîæäàåìûìè èìè ðàñïðåäåëåíèÿìè íà ðàñïðåäåëåíèÿ àôôèííàÿ ãðóïïà
äîëæíà äåéñòâîâàòü ñëåâà.

6.2.7    Ñâåðòêà ðñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè.

 ýòîì ïóíêòå ôîðìóëèðîâêè óòâåðæäåíèé è äîêàçàòåëüñòâà íå çàâèñÿò
îò òîãî, êàêèå ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàþòñÿ: S èëè D.
   Íàïîìíèì, ÷òî ñâåðòêîé f ∗ φ ôóíêöèé f è φ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
                                     Z
                  d
                 R 3 x 7→ f ∗ φ(x) := f (y)φ(x − y)dy.

Ñâåðòêó ðàñïðåäåëåíèÿ è îñíîâíîé ôóíêöèè åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü ôîð-
ìóëîé
                      f ∗ φ(x) = lim fn ∗ φ(x),
                                       n→∞

ãäå fn -òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóêíöèé, ÷òî
                                           Z
                         d
                ∀(φ ∈ S(R )) : f (φ) = lim   fn (y)φ(y)dy.
                                         n→∞

Îäíàêî ïðè ýòîì âîçíèêàþò ïðîáëåìû ñ îáîñíîâàíèåì íåêîòîðûõ ïðå-
äåëüíûõ ïåðåõîäîâ è óäîáíî ïîñòóïèòü èíà÷å.

                                       426

Страницы