Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 440 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

S(R
d
) D(R
d
)
l
j
(4x)φ(x) → ∂
x
j
φ(x
1
, . . . , x
j
, . . . , x
d
) , 4x → 0.
∂
x
j
(f ∗ φ)(x) = lim
4x→0
l
j
(4x)(f ∗ φ)(x)
lim
4x→0
f ∗ l
j
(4x)φ(x) = (f ∗ ∂
x
j
φ)(x).
(D
m
f) ∗ φ(x) = (D
m
f)
y
(φ(x − y)) = (−1)
|m|
f
y
(D
m
y
φ(x − y))
= f
y
((D
m
φ)(x − y)).
D(R
d
) D
?
(R
d
)
z = x ⊕ y , x ∈ R
p
, y ∈ R
q
, φ(z) ∈ D(R
p+q
),
x 7→ φ(x ⊕ y) , y 7→ φ(x ⊕ y)
D(R
p
) D(R
q
)
x ∈ R
p
, y ∈ R
q
, z = x ⊕ y , ψ(z) ∈ D(R
p+q
) , g ∈ D
0
(R
q
),
g
y
(ψ(x ⊕ y)) ∈ D(R
p
).
ψ b K
1
⊕ K
2
,
K
1
= {x | x ∈ R
p
, |x
j
| ≤ a , 1 ≤ j ≤ p},
K
2
= {x | x ∈ R
q
, |x
j
| ≤ a , 1 ≤ j ≤ q}.
Ëåììà 6.2.6. Â ïðîñòðàíñòâå S(R ) è â ïðîñòðàíñòâå D(R ) ñïðàâåä-
                                            d                                d

ëèâî óòâåðæäåíèå:

              lj (4x)φ(x) → ∂xj φ(x1 , . . . , xj , . . . , xd ) , 4x → 0.
    Èñïîëüçóÿ êîììóòàòèâíîñòü îïåðàòîðà ñâåðòêè ñî ñäâèãîì è ëåììó
6.2.6, ìû ïîëó÷àåì:

                    ∂xj (f ∗ φ)(x) = lim lj (4x)(f ∗ φ)(x)
                                        4x→0

                      lim f ∗ lj (4x)φ(x) = (f ∗ ∂xj φ)(x).
                     4x→0

Äàëåå çàìå÷àåì, ÷òî

        (Dm f ) ∗ φ(x) = (Dm f )y (φ(x − y)) = (−1)|m| fy (Dym φ(x − y))
         = fy ((Dm φ)(x − y)).
Òåîðåìà äîêàçàíà.

6.2.8     Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ðàñïðåäåëåíèé.

 ýòîì ïóíêòå â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà îñíîâíûõ ôóíêöèé è ïðîñòðàí-
ñòâà ðàñïðåäåëåíèé ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîñòðàíñòâà D(Rd ) è D? (Rd ).
   Î÷åâèäíà
Ëåììà 6.2.7. Åñëè
                z = x ⊕ y , x ∈ Rp , y ∈ Rq , φ(z) ∈ D(Rp+q ),
òî ôóíêöèè
                         x 7→ φ(x ⊕ y) , y 7→ φ(x ⊕ y)
ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâàì             D(Rp )    è   D(Rq )   ñîîòâåòñòâåííî.

Ëåììà 6.2.8. Åñëè
          x ∈ Rp , y ∈ Rq , z = x ⊕ y , ψ(z) ∈ D(Rp+q ) , g ∈ D0 (Rq ),
òî
                              gy (ψ(x ⊕ y)) ∈ D(Rp ).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî

                   suppψ b K1 ⊕ K2 ,
                   K1 = {x | x ∈ Rp , |xj | ≤ a , 1 ≤ j ≤ p},
                   K2 = {x | x ∈ Rq , |xj | ≤ a , 1 ≤ j ≤ q}.

                                         428

Страницы