Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 439 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ(x) := φ(−x),
∀(z ∈ R
d
) : t(z)φ(x) := φ(x − z)
(t(z)f)(φ) := f
y
(φ(y + z)).
f φ
R
d
3 x 7→ f ∗ φ(x) := f(t(x) φ) = f
y
(φ(x − y)).
t(z)(f ∗ φ(x)) = (t(z)f) ∗ φ(x) = f ∗ (t(z)φ)(x).
D
m
x
(f ∗ φ(x)) = (D
m
f) ∗ φ(x) = f ∗ (D
m
x
φ)(x).
t(z)(f ∗ φ(x)) = t(z)f
y
(φ(x − y)) = f
y
(φ(x − z − y)),
(t(z)f) ∗ φ(x) = (t(z)f )
y
(φ(x − y)) =
f
y
(φ(x − (y + z))) = f
y
(φ(x − z − y)),
f ∗ (t(z)φ)(x) = f(t(x) (t(z)φ)) =
f
y
(t(x)φ(−y −z)) = f
y
(φ(x − y −z)).
l
j
(4x) : l
j
(4x)φ(x) =
1
4x
(φ(x
1
, . . . x
j
+ 4x, . . . , x
d
) − φ(x
1
, . . . , x
d
)) =
Z
1
0
(∂
x
j
φ)(x
1
, . . . , x
j
+ τ 4x, . . . , x
d
)dτ.
S(R
d
) D(R
d
)
   Ââåäåì îïåðàòîðû èíâåðñèè îñíîâíîé ôóíêöèè:
                                invφ(x) := φ(−x),
ñäâèãà îñíîâíîé ôóíêöèè:
                       ∀(z ∈ Rd ) : t(z)φ(x) := φ(x − z)
è ñäâèãà ðàñïðåäåëåíèÿ:
                           (t(z)f )(φ) := fy (φ(y + z)).
Ýòè îïåðàöèè íåïðåðûâíû â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîñòðàíñòâàõ.
Îïðåäåëåíèå 6.2.7. Ñâåðòêîé ðàñïðåäåëåíèÿ f è îñíîâíîé ôóíêöèè φ
íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
           Rd 3 x 7→ f ∗ φ(x) := f (t(x)invφ) = fy (φ(x − y)).                   (6.51)
   Êîððåêòíîñòü äàííîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè îïåðà-
öèè èíâåðñèè è ñäâèãà.
   Íóæíûå íàì ñâîéñòâà ñâåðòêè ðàñïðåäåëåíèÿ è îñíîâíîé ôóíêöèè
ïåðå÷èñëåíû â
Òåîðåìà 6.2.8. 1. Ñâåðòêà êîììóòèðóåò ñî ñäâèãàìè:
             t(z)(f ∗ φ(x)) = (t(z)f ) ∗ φ(x) = f ∗ (t(z)φ)(x).                  (6.52)
2. Ñâåðòêà êîììóòèðóåò ñ äèôôåðåíöèðîâàíèÿìè:

             Dxm (f ∗ φ(x)) = (Dm f ) ∗ φ(x) = f ∗ (Dxm φ)(x).                   (6.53)
   Äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ ïðîâîäèòñÿ ïðÿìûì âû÷èñëå-
íèåì. Èìååì:
          t(z)(f ∗ φ(x)) = t(z)fy (φ(x − y)) = fy (φ(x − z − y)),
          (t(z)f ) ∗ φ(x) = (t(z)f )y (φ(x − y)) =
          fy (φ(x − (y + z))) = fy (φ(x − z − y)),
          f ∗ (t(z)φ)(x) = f (t(x)inv(t(z)φ)) =
          fy (t(x)φ(−y − z)) = fy (φ(x − y − z)).
Ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ. Ââåäåì îïåðàòîð
            lj (4x) : lj (4x)φ(x) =
              1
                  (φ(x1 , . . . xj + 4x, . . . , xd ) − φ(x1 , . . . , xd )) =
            4x
             Z 1
                 (∂xj φ)(x1 , . . . , xj + τ 4x, . . . , xd )dτ.
              0

Èç íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà ñäâèãà â ïðîñòàíñòâàõ S(Rd ) è D(Rd ) ñëå-
äóåò

                                          427

Страницы