Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 436 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x) ≡ 1
F (1)(φ) =
Z
∞
−∞
F (φ)(ξ)dξ =
(2π)
d
(2π)
−d
Z
exp(ixξ)F (φ)(ξ)dξ
x=0
= (2π)
d
φ(0).
F (1)(ξ) = (2π)
d
δ(ξ).
f(x) f(x)
f(x) ≡ x , x ∈ R
1
F (x)(φ(x)) =
Z
x
Z
exp(−ixy)φ(y)dy
dx =
Z
Z
i
d
dy
exp(−ixy)
φ(y)dy
dx =
Z
Z
(exp(−ixy)
−i
d
dy
φ(y)dy
dx = −2πiφ
0
(0).
F (x) = 2πiδ
0
(x).
θ(x)
θ(x) exp(−x) , → 0
θ(x)
θ(x) exp(−x) , → 0
θ(x) exp(−x)
θ(x) exp(−x)
Z
∞
−∞
θ(x) exp(−x − iξx)dx = −i(ξ −i)
−1
.
Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå ìåäëåííî ðàñòó-
ùèõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.
   1. Íàéäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíê-
öèåé f (x) ≡ 1. Èìååì:
                         Z   ∞
          F (1)(φ) =      F (φ)(ξ)dξ =
                     −∞
                       Z                     
               d     −d
          (2π) (2π)        exp(ixξ)F (φ)(ξ)dξ                   = (2π)d φ(0).
                                                          x=0


Ñëåäîâàòåëüíî,
                                 F (1)(ξ) = (2π)d δ(ξ).

Èíîãäà ôðàçà ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíê-
öèåé f (x) ñîêðàùàåòñÿ äî ôðàçû ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f (x).
Îäíàêî îáû÷íî íåòðóäíî ïîíÿòü, î ÷åì èäåò ðå÷ü è òàêàÿ âîëüíîñòü ðå÷è
íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèÿì.
   2. Íàéäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíê-
öèåé f (x) ≡ x , x ∈ R1 . Èìååì:
                             Z     Z                       
          F (x)(φ(x)) = x     exp(−ixy)φ(y)dy dx =
          Z Z                        
                     d
                   i exp(−ixy) φ(y)dy dx =
                    dy
          Z Z                          
                                d
                 (exp(−ixy) −i      φ(y)dy dx = −2πiφ0 (0).
                               dy

                                   F (x) = 2πiδ 0 (x).

3. Íàéäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíêöèåé
θ(x). Ýòî ðàñïðåäåëåíèå åñòü ïðåäåë ðàñïðåäåëåíèé, çàäàâàåìûõ ôóíê-
öèåé θ(x) exp(−x) ,  → 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíêöèåé θ(x), åñòü ïðåäåë ðàñïðåäåëåíèé çà-
äàâàåìûõ ôóíêöèåé θ(x) exp(−x) ,  → 0. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíêöèåé θ(x) exp(−x), çàäàåòñÿ ïðåîáðàçîâà-
íèåì Ôóðüå ôóíêöèè θ(x) exp(−x):
                 Z   ∞
                         θ(x) exp(−x − iξx)dx = −i(ξ − i)−1 .
                 −∞


                                          424

Страницы