Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 433 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

θ(x) δ(x)
θ(x) x = 0
x = 0
−∞ = a
0
< a
1
< . . . < a
n
< a
n+1
= ∞.
f(x), x ∈ R
1
∀x: |f(x)| < C(1 + |x|)
N
,
(a
i
, a
i+1
) 0 ≤ i ≤ n
a
i
, 1 ≤ i ≤ n
f
0
loc
(x) =
(
f
0
(x) , x ∈ (a
i
, a
i+1
) 0 ≤ i ≤ n,
0 , x ∈ {a
i
| 1 ≤ i ≤ n}
f
0
loc
(x)
∀x: |f
0
loc
(x)| < C
0
(1 + |x|)
M
.
f(x)
df
dx
(φ) = −f(
dφ
dx
) = −
Z
∞
−∞
f(x)
dφ
dx
dx = −
X
0≤i≤n
Z
a
i+1
a
i
f(x)
dφ
dx
dx =
−
X
0≤i≤n
((f(a
i+1
− 0)φ(a
i+1
) − f(a
i
+ 0)φ(a
i
)) −
Z
a
i+1
a
i
f
0
(x)φ(x)dx) =
X
1≤i≤n
(f(a
i
+ 0) − f(a
i
− 0))φ(a
i
) +
Z
∞
−∞
f
0
loc
(x)φ(x)dx.
df(x)
dx
=
X
1≤i≤n
(f(a
i
+ 0) − f(a
i
− 0))δ(x − a
i
) + f
0
loc
(x).
Äàííîå ðàâåíñòâî íóæíî ïîíèìàòü â ñëåäóåùåì ñìûñëå: ïðîèçâîäíàÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíêöèåé θ(x), åñòü ðàñïðåäåëåíèå δ(x). Ñðå-
äè ôèçèêîâ áûòóåò ñëåäóþùàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ýòîãî ðàâåíñòâà: ïðîèç-
âîäíàÿ ôóíêöèè θ(x) ðàâíà íóëþ âñþäó, êðîìå òî÷êè x = 0, à â òî÷êå
x = 0 ýòà ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè. Ýòî áåññìûñëåííîå íà ïåð-
âûé âçãëÿä óòâåðæäåíèå ïîëó÷àåò ìàòåìàòè÷åñêè êîððåêòíóþ èíòåðïðå-
òàöèþ, åñëè ðàññìîòðåòü àïïðîêñèìàöèþ ðàñïðåäåëåíèé â îáåèõ ÷àñòÿõ
äàííîãî ðàâåíñòâà ðàñïðåäåëåíèÿìè, çàäàâàåìûìè ãëàäêèìè ôóíêöèÿ-
ìè.
    2. Ïóñòü
                 −∞ = a0 < a1 < . . . < an < an+1 = ∞.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x), x ∈ R1 óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå

                           ∀x : |f (x)| < C(1 + |x|)N ,

íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà êàæäîì èíòåðâàëå (ai , ai+1 ) 0 ≤ i ≤ n
è èìååò ïðåäåëû â òî÷êàõ ai , 1 ≤ i ≤ n. Ïîëîæèì
                           (
                 0          f 0 (x) , x ∈ (ai , ai+1 ) 0 ≤ i ≤ n,
                floc (x) =
                            0 , x ∈ {ai | 1 ≤ i ≤ n}

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ floc
                          0
                              (x) óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå
                                0
                         ∀x : |floc (x)| < C 0 (1 + |x|)M .

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíêöèåé f (x). Èìå-
åì:
                           Z ∞                    X Z ai+1
    df             dφ                 dφ                              dφ
       (φ) = −f ( ) = −          f (x) dx = −                  f (x) dx =
    dx             dx        −∞       dx         0≤i≤n ai
                                                                      dx
        X                                                Z ai+1
    −       ((f (ai+1 − 0)φ(ai+1 ) − f (ai + 0)φ(ai )) −        f 0 (x)φ(x)dx) =
      0≤i≤n                                                   ai
    X                                       Z   ∞
                                                     0
        (f (ai + 0) − f (ai − 0))φ(ai ) +           floc (x)φ(x)dx.
   1≤i≤n                                     −∞


Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

           df (x)    X
                                                                 0
                  =       (f (ai + 0) − f (ai − 0))δ(x − ai ) + floc (x).
             dx     1≤i≤n


                                       421

Страницы