Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 426 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

D(R
d
)
D(R
d
)
D(R
d
)
A : D(R
d
) 7→ D(R
d
)
K
0
N C(K
0
, N) , M(K
0
)
K
∀(φ , φ b K
0
) :
Aφ b K , kAφ | (N , D(R
d
) , K
0
)k <
C(K
0
, N)kφ | (M(K
0
, N) , D(R
d
) , K)k.
f
D(R
d
)
K C(K) , N(K)
∀(φ , φ b K) : |f(φ)| ≤ C(K)kφ | (N(K) , D(R
d
) , K)k.
→ 0
φ 7→
Z
∞
−∞
1
x − i
φ(x)dx.
6.2.3       Ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà                     D(Rd )
Óêàæåì, êàêèå èçìåíåíèÿ íóæíî ñäåëàòü â ôîðìóëèðîâêå îñíîâíûõ òåî-
ðåì äëÿ ñëó÷àÿ ïðîñòðàíñòâà D(Rd ). Òåîðåìà î íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà
â ïðîñòðàíñòâå îñíîâíûõ ôóíêöèé D(Rd ) ôîðìóëèðóåòñÿ òàê:


Òåîðåìà 6.2.5. Ëèíåéíûé îïåðàòîð
                                A : D(Rd ) 7→ D(Rd )

íåïðåðûâåí â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà                    K0   è
ëþáûõ   N   ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû                 C(K0 , N ) , M (K0 ),   è òàêîé
êîìïàêò     K,   ÷òî


                    ∀(φ ,   suppφ   b K0 ) :
                    suppAφ    b K , kAφ | (N , D(Rd ) , K0 )k <
                    C(K0 , N )kφ | (M (K0 , N ) , D(Rd ) , K)k.


   Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèé.
   Òåîðåìà î íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ íåïðåðûâíîñòè ëè-
íåíåéíîãî ôóíêöèîíàëà ôîðìóëèðóåòÿ òàê.


Òåîðåìà 6.2.6. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë f íà ïðîñòðàí-
ñòâå  D(Rd ) áûë íåïðåðûâåí, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå óñëî-
âèÿ: äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà K ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû C(K) , N (K),
÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî


    ∀(φ ,   suppφ   b K) : |f (φ)| ≤ C(K)kφ | (N (K) , D(Rd ) , K)k.             (6.40)



6.2.4       Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ðàñïðåäåëåíèé.


Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.
   1. Íàéäåì ïðåäåë ïðè  → 0 ôóíêöèîíàëà, çàäàííîãî ôîðìóëîé
                                      Z   ∞
                                                1
                               φ 7→                  φ(x)dx.
                                       −∞     x − i

                                              414

Страницы