Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 424 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{f
n
} ⊂ S(R
d
)
?
φ ∈
S(R
d
) f
n
(φ)
{f
n
} ⊂ S(R
d
)
?
φ
M ⊂ S(R
d
)
?
.
m(φ | M) = sup{|f(φ)| | f ∈ M}.
∀(φ ∈ S(R
d
)) : m(φ | M) < ∞,
m(φ | M) → 0 , φ
S
→ 0.
> 0 {f
(1 , n)
} ⊂ M , {φ
(1 , n)
} ⊂ S(R
d
)
φ
(1 , n)
S
→ 0 , |f
(1 , n)
(φ
(1 , n)
)| > .
n(j)
kφ
(1 , n(j))
| (j , S)k < 4
−j
f
(2 , j)
= f
(1 , n(j))
, φ
(2 , j)
= 2
j
φ
(1 , n(j))
.
{f
(2 , j)
} ⊂ M , φ
(2 , j)
S
→ 0 , |f
(2 , j)
(φ
(2 , j)
)| > 2
j
→ ∞, j → ∞,
kφ
(2 , j)
| (j , S)k < 2
−j
.
∀k :
X
1≤j<∞
kφ
(2 , j)
| (k , S)k < ∞,
Îïðåäåëåíèå 6.2.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìåäëåííî ðàñòóùèõ ðàñïðå-
äåëåíèé {fn } ⊂ S(Rd )? ôóíäàìåíòàëüíà, åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà φ ∈
S(Rd ) ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (φ) ôóíäàìåíòàëüíà.
    Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìåäëåííî ðàñòóùèõ ðàñïðåäåëåíèé ñõîäèò-
ñÿ, òî îíà ôóíäàìåíòàëüíà. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn } ⊂ S(Rd )? ôóí-
äàìåíòàëüíà, òî ïðåäåë â (6.35) ñóùåñòâóåò. Íèæå ìû äîêàæåì, ÷òî ýòîò
ïðåäåë çàäàåò ìåäëåííî ðàñòóùåå ðàñïðåäåëåíèå. Ëèíåéíîñòü ïðàâîé ÷à-
ñòè (6.35) ïî φ î÷åâèäíà. Äîêàçàòåëüñòâî íåïðåðûâíîñòè çàäàâàåìîãî
ëåâîé ÷àñòüþ ðàâåíñòâà (6.35) ôóíêöèîíàëà îïèðàåòñÿ íà óòâåðæäåíèå,
êîòîðîå åñòü àíàëîã ïðèíöèïà ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè â òåîðèè áà-
íàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ.
    Ïóñòü
                             M ⊂ S(Rd )? .
Ïîëîæèì
                        m(φ | M ) = sup{|f (φ)| | f ∈ M }.
Òåîðåìà 6.2.3. Åñëè
                          ∀(φ ∈ S(Rd )) : m(φ | M ) < ∞,                             (6.36)

òî
                                                          S
                               m(φ | M ) → 0 , φ → 0.                                (6.37)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü óñëîâèå (6.37) íå âûïîëíåíî. Òîãäà ñóùåñòâåò
òàêîå  > 0 è òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {f(1 , n) } ⊂ M , {φ(1 , n) } ⊂ S(Rd ),
÷òî
                              S
                     φ(1 , n) → 0 , |f(1 , n) (φ(1 , n) )| > .
Îïðåäåëèì íîìåð n(j) èç óñëîâèÿ

                               kφ(1 , n(j)) | (j , S)k < 4−j

è ïîëîæèì
                      f(2 , j) = f(1 , n(j)) , φ(2 , j) = 2j φ(1 , n(j)) .
Ýòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:
                                  S
       {f(2 , j) } ⊂ M , φ(2 , j) → 0 , |f(2 , j) (φ(2 , j) )| > 2j  → ∞ , j → ∞,
       kφ(2 , j) | (j , S)k < 2−j .                                                  (6.38)

Çàìåòèì, ÷òî                     X
                        ∀k :            kφ(2 , j) | (k , S)k < ∞,                    (6.39)
                               1≤j<∞


                                             412

Страницы