Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 419 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f : S(R
d
) 3 φ 7→ f(φ) ∈ C
1
S(R
d
)
∀(φ
1
, φ
2
∈ S(R
d
)) : f(αφ
1
+ βφ
2
) = αf(φ
1
) + βf(φ
2
).
f
(∀(φ
n
S
→ 0 , n → ∞)) ⇒ (f(φ
n
) → 0 , n → ∞).
S(R
d
)
S(R
d
)
?
f(x) , x ∈ R
1
∀x : |f(x)| ≤ C(1 + |x|)
m
.
∀(φ ∈ S) : f(φ) =
Z
f(x)φ(x)dx.
|f(φ)| ≤ C
0
kφ | (m + 2 , S)k,
S(R
d
)
f(x) f
f f(x)
f(x) f
R
d
f(x)
δ(φ) = φ(0)
6.2.1   Ìåäëåííî ðàñòóùèå ðàñïðåäåëåíèÿ.

Îòîáðàæåíèå
                         f : S(Rd ) 3 φ 7→ f (φ) ∈ C1
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì íà ïðîñòðàíñòâå S(Rd ), åñëè

          ∀(φ1 , φ2 ∈ S(Rd )) : f (αφ1 + βφ2 ) = αf (φ1 ) + βf (φ2 ).

  Ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå Øâàðöà f íàçûâàåòñÿ íåïðå-
ðûâíûì, åñëè
                     S
              (∀(φn → 0 , n → ∞)) ⇒ (f (φn ) → 0 , n → ∞).

Îïðåäåëåíèå 6.2.1. Ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàí-
ñòâå Øâàðöà S(Rd ) íàçûâàåòñÿ ìåäëåííî ðàñòóùèì ðàñïðåäåëåíèåì.
   Ìíîæåñòâî âñåõ ìåäëåííî ðàñòóùèõ ðàñïðåäåëåíèé îáîçíà÷àåòñÿ ñèì-
âîëîì S(Rd )? .
   Ïðèâåäåì ïðèìåðû.
   Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) , x ∈ R1 , êóñî÷íî-íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò
îöåíêå
                     ∀ x : |f (x)| ≤ C(1 + |x|)m .             (6.23)
Ïîëîæèì                                      Z
                     ∀(φ ∈ S) : f (φ) =          f (x)φ(x)dx.           (6.24)

Ñïðàâåäëèâà î÷åâèäíàÿ îöåíêà:

                         |f (φ)| ≤ C 0 kφ | (m + 2 , S)k,

èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî çàäàííûé ôîðìóëîé (6.24) ëèíåéíûé ôóíêöèî-
íàë íåïðåðûâåí íà S(Rd ). Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëà (6.24) çàäàåò ìåäëåí-
íî ðàñòóùåå ðàñïðåäåëåíèå. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) è ôóíêöèîíàë f ñâÿçàíû
ðàâåíñòâîì (6.24), òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàë f çàäàåòñÿ ôóíêöèåé f (x)
èëè ÷òî ôóíêöèÿ f (x) çàäàåò ôóíêöèîíàë f .
   Ôóíêöèîíàë è çàäàþùèé ýòîò ôóíêöèîíàë ôóíêöèþ ìû îáîçíà÷è-
ëè îäíèì è òåì æå ñèìâîëîì. Ýòî íå ìîæåò ïðèâåñòè ê íåäîðàçóìåíèÿì,
òàê êàê àðãóìåíò ôóíêöèè åñòü òî÷êà ïðîñòðàíñòâà Rd , à àðãóìåíò ôóíê-
öèîíàëà åñòü ôóíêöèÿ è èç êîíòåêñòà îáû÷íî áûâàåò ÿñíî, î ÷åì èäåò
ðå÷ü. Òåðìèí ìåäëåííî ðàñòóùåå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x)
â (6.24) ðàñòåò íå áûñòåå ñòåïåíè. Îäíàêî íå ëþáîå ìåäëåííî ðàñòóùåå
ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (6.24). Ôóíêöèîíàë
                                       def
                                  δ(φ) = φ(0)                           (6.25)

                                       407

Страницы