Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 415 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{φ
n
} ⊂ S(R
d
)
S(R
d
)
∀N : lim
n→∞
sup
m>0
k(φ
n+m
− φ
n
) | (N , S)k = 0.
{φ
n
}
S(R
d
)
S(R
d
)
d
S
B
N
S(R
d
) k | (N , S)k
{φ
n
} S(R
d
)
B
N
∀N , ∃(φ
(N)
∈ B
N
) : kφ
n
− φ
(N)
k → 0 , n → ∞.
B
N+1
⊂ B
N
,
φ
(N+1)
= φ
(N)
:= φ ∈
\
0≤N<∞
B
N
= S(R
d
),
∀N : kφ
n
− φ | (N , S)k → 0 , n → ∞,
{φ
n
}
S(R
d
) φ
A : S(R
d
) 7→ S(R
d
)
φ
n
S
→ 0 , n → ∞
A(φ
n
)
S
→ 0 , n → ∞.
Îïðåäåëåíèå 6.1.4. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {φ } ⊂ S(R ) ôóíäàìåíòàëü-
                                                             n
                                                                     d

íà â ïðîñòðàíñòâå S(Rd ), åñëè

                 ∀N : lim sup k(φn+m − φn ) | (N , S)k = 0.               (6.13)
                          n→∞ m>0


Òåîðåìà 6.1.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {φ } ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå
                                                       n
S(Rd )   â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè îíà ôóíäàìåíòàëüíà â ïðî-
ñòðàíñòâå    S(Rd ).
    Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü äîêàçûâàåòñÿ äîñëîâíûì ïîâòîðåíè-
åì äîêàçàòåëüñòâà íåîáõîäèìîñòè óñëîâèÿ Êîøè äëÿ ñõîäèìîñòè ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòè â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå. Äîêàæåì äîñòàòî÷íîñòü, ò.
å. ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà Øâàðöà îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè dS .
    Ïóñòü BN -ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà S(Rd ) ïî íîðìå k | (N , S)k.
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {φn } ôóíäàìåíòàëüíà â ïðîñòðàíñòâå S(Rd ),
òî îíà ôóíäàìåíòàëüíà â êàæäîì ïðîñòðàíñòâå BN , ïîýòîìó

               ∀N , ∃(φ(N ) ∈ BN ) : kφn − φ(N ) k → 0 , n → ∞.

Òàê êàê
                                    BN +1 ⊂ BN ,
òî                                                 \
                  φ(N +1) = φ(N ) := φ ∈                   BN = S(Rd ),
                                               0≤N <∞
è
                       ∀N : kφn − φ | (N , S)k → 0 , n → ∞,
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {φn } ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå
S(Rd ) ê ôóíêöèè φ. Òåîðåìà äîêàçàíà.

6.1.3     Íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû â ïðîñòðàíñòâå îñíîâ-

          íûõ ôóíêöèé.

Îïðåäåëåíèå 6.1.5. Ëèíåéíûé îïåðàòîð
                               A : S(Rd ) 7→ S(Rd )                       (6.14)

íåïðåðûâåí â ïðîñòðàíñòâå Øâàðöà, åñëè èç óñëîâèÿ
                                     S
                                 φn → 0 , n → ∞                           (6.15)

ñëåäóåò, ÷òî
                                         S
                               A(φn ) → 0 , n → ∞.                        (6.16)

                                             403

Страницы