Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 412 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

φ(x) =
1
2π
d
Z
···
Z
exp(ixξ)F (φ)(ξ)dξ.
Z
···
Z
φ(x)
∗
ψ(x)dx = (2π)
−d
Z
···
Z
F (φ)
∗
(ξ)F (ψ)(ξ)dξ.
D D
Dφ(x) =
1
2π
Z
∞
−∞
exp(ixξ)ξF (φ)(ξ)dξ.
F (D
m
φ)(ξ) = ξ
m
F (φ)(ξ).
D
Z
···
Z
exp(−ax
2
− ixξ)dx =
π
a
d/2
exp(−ξ
2
/4a).
Z
···
Z
(. . .)dx ≡
Z
(. . .)dx.
φ ∈ S(R
1
) F (φ) ∈ S(R
1
)
∀N , ∃(C(N) , M(N)) , ∀(φ ∈ S) :
kF (φ) | (N , S)k ≤ C(N)kφ | (M(N) , S)k.
F (φ) ∈ S(R
1
) φ ∈ S(R
1
)
∀N , ∃(C(N) , M(N)) , ∀φ :
kφ | (N , S)k ≤ C(N)kF (φ) | (M(N) , S)k.
ôîðìóëó îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:
                     d Z        Z
                       1
             φ(x) =          · · · exp(ixξ)F (φ)(ξ)dξ.
                      2π
è ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ:
       Z       Z                     Z      Z
                    ∗             −d
          · · · φ(x) ψ(x)dx = (2π)     · · · F (φ)∗ (ξ)F (ψ)(ξ)dξ.

Èíîãäà â ôîðìóëå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå áåðóò çíàê ïëþñ â ýêñïî-
íåíòå è ñîîòâåòñòâåííî çíàê ìèíóñ â ýêñïîíåíòå â ôîðìóëå äëÿ îáðàòíîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ýòî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ çíàêîâ â íåêîòîðûõ
äðóãèõ ôîðìóëàõ.
   Ïîÿñíèì ïîëüçó îò ââåäåíèÿ îïåðàòîðà D. Ïðèìåíÿÿ îïåðàòîð D ê
îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà â ôîðìóëå äëÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâààíèÿ Ôó-
ðüå â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ìû ïîëó÷àåì:
                              Z ∞
                            1
                  Dφ(x) =         exp(ixξ)ξF (φ)(ξ)dξ.
                           2π −∞
Ñëåäîâàòåëüíî,
                            F (Dm φ)(ξ) = ξ m F (φ)(ξ).              (6.5)
   Ìû âèäèì, ÷òî îïåðàòîð D ïðîñòî êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì äèô-
ôåðåíöèðîâàíèÿ: íèêàêèõ äîïîëíèòåëüíûõ ìíîæèòåëåé íå ïîÿâëÿåòñÿ.
   Íàïîìíèì ôîðìóëó äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå îò ãàóññîâîé ýêñïî-
íåíòû:    Z      Z                     π d/2
            · · · exp(−ax2 − ixξ)dx =          exp(−ξ 2 /4a).
                                        a
 äàëüíåéøåì íàì áóäåò óäîáíî óïðîñòèòü îáîçíà÷åíèÿ: ìû áóäåì ñ÷è-
òàòü, ÷òî            Z   Z           Z
                             ···     (. . .)dx ≡   (. . .)dx.

Ëåììà 6.1.2. 1. Åñëè φ ∈ S(R ), òî F (φ) ∈ S(R ) è
                                      1                     1


                  ∀N , ∃(C(N ) , M (N )) , ∀(φ ∈ S) :
                  kF (φ) | (N , S)k ≤ C(N )kφ | (M (N ) , S)k.       (6.6)

2. Åñëè   F (φ) ∈ S(R1 ),   òî   φ ∈ S(R1 ),   ïðè÷åì

                  ∀N , ∃(C(N ) , M (N )) , ∀φ :
                  kφ | (N , S)k ≤ C(N )kF (φ) | (M (N ) , S)k.

                                          400

Страницы