Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 410 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

k k
1.∀(x ∈ L) : kxk ≥ 0 , (kxk = 0) ⇐⇒ (x = 0).
2.kx + yk ≤ kxk + kyk.
3.kλxk = |λ|kxk.
S(R
d
) D(R
d
)
φ(x)
x |φ(x)| > 0
φ := Cl({x | |φ(x)| > 0 | x ∈ R
d
}),
R
d
S(R
1
)
R
d
x ∈ R
1
, D
m
x
= (−i∂
x
)
m
.
D
m
≡ D
m
x
.
−i
φ(x)
S(R
1
)
|x|
(φ ∈ S) ⇔ (∀(m , p) : sup{(1 + x
2
)
p/2
|D
m
x
φ(x)| | x ∈ R
1
} < ∞).
kφ | (N , S)k :=
X
0≤m≤N,
0≤p≤N.
sup{(1 + x
2
)
p/2
|D
m
x
φ(x)| | x ∈ R
1
}.
Íîðìîé íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ k                 k, êî-
òîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

              1.∀(x ∈ L) : kxk ≥ 0 , (kxk = 0) ⇐⇒ (x = 0).
              2.kx + yk ≤ kxk + kyk.
              3.kλxk = |λ|kxk.
Ìû ðàññìîòðèì äâà ïðîñòðàíñòâà ïðîáíûõ ôóíêöèé: ïðîñòðàíñòâî Øâàð-
öà S(Rd ) è ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé ñ êîìïàêòíûìè íîñèòåëÿìè D(Rd ). Íà-
ïîìíèì, ÷òî íîñèòåëåì ôóíêöèè φ(x) íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèå ìíîæåñòâà
òåõ òî÷åê x, ãäå |φ(x)| > 0:

                  suppφ := Cl({x | |φ(x)| > 0 | x ∈ Rd }),

à êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà â Rd -ýòî îãðàíè÷åííûå çàìêíóòûå ìíîæåñòâà.

6.1.1   Ïðîñòðàíñòâî Øâàðöà.

Ñíà÷àëà ìû ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî Øâàðöà íà ïðÿìîé S(R1 ), îáîá-
ùåíèå íà ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâà Rd ïîëó÷àåòñÿ ïåðåîñìûñëåíèåì îáîçíà-
÷åíèé. Ïóñòü
                      x ∈ R1 , Dxm = (−i∂x )m .
Åñëè ýòî íå ìîæåò âûçâàòü íåäîðàçóìåíèé, â äàëüíåéøåì ìû áóäåì îïóñ-
êàòü óêàçàíèå íà ïåðåìåííóþ, ïî êîòîðîé áåðåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ:

                                   Dm ≡ Dxm .
 ñîâðåìåíîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé øèðîêî ïðèìåíÿåò-
ñÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ââåäåíèå ìíîæèòåëÿ −i â îïåðàòîð äèôôåðåí-
öèðîâàíèÿ èçáàâëÿåò îò íåîáõîäèìîñòè ïèñàòü ýòîò ìíîæèòåëü âî ìíîãèõ
ñâÿçàííûõ ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôîðìóëàõ è ñòàëî îáùåïðèíÿòûì.
Îïðåäåëåíèå 6.1.1. Ôóíêöèÿ φ(x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Øâàðöà
S(R1 ), åñëè îíà áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà è âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè
óáûâàåò íà áåñêîíå÷íîñòè áûñòðåå ëþáîé ñòåïåíè |x|:

   (φ ∈ S) ⇔ (∀(m , p) : sup{(1 + x2 )p/2 |Dxm φ(x)| | x ∈ R1 } < ∞).       (6.1)

   Ïîëîæèì
                         X
     kφ | (N , S)k :=            sup{(1 + x2 )p/2 |Dxm φ(x)| | x ∈ R1 }.    (6.2)
                        0≤m≤N,
                        0≤p≤N.

Îïðåäåëåíèå 6.1.1 ýêâèâàëåíòíî îïðåäåëåíèþ

                                        398

Страницы