Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 406 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

B − A H
S(B , A)ψ(λ , ω) = ψ(λ , ω) −2πi
Z
t(λ + i0 | λ , ω , λ , ω
0
)ψ(λ , ω
0
)dω
0
.
id − S(B , A) = W
∗
+
(B , A)W
+
(B , A) − W
∗
+
(B , A)W
−
(B , A) ,
id − S(B , A) = W
∗
+
(B , A)(W
+
(B , A) − W
−
(B , A)) ,
< φ , (id − S(B , A))ψ >=
Z
+∞
−∞
d
dt
< φ , W
∗
+
(B , A) exp(iBt) exp(−iAt)ψ > dt =
i
Z
+∞
−∞
< φ , W
∗
+
(B , A) exp(iBt)(B −A) exp(−iAt)ψ > dt =
i
Z
+∞
−∞
< exp(−iBt)W
+
(B , A)φ , (B − A) exp(−iAt)ψ > dt =
i
Z
+∞
−∞
< W
+
(B , A) exp(−iAt)φ , (B − A) exp(−iAt)ψ > dt =
i
Z
+∞
−∞
< exp(−iAt)φ , W
+
(B , A)
∗
(B −A) exp(−iAt)ψ > dt.
< exp(−iAt)φ , W
+
(B , A)
∗
(B −A) exp(−iAt)ψ >=
lim
→+0
π
Z
∞
−∞
< R(λ + i , A) exp(−iAt)φ , R(λ + i , B)(B − A) exp(−iAt)ψ >=
lim
→+0
π
Z
∞
−∞
< R(λ − i , A)R(λ + i , A) exp(−iAt)φ , T (λ + i , A , B) exp(−iAt)ψ > .
A
π
R(λ − i , A)R(λ + i , A) =
π
((λ − µ)
2
+
2
)
−1
→ δ(λ − µ) ,
Z
< . . . exp(−iAt) . . . , . . . exp(−iAt) . . . > dt =
Z
(. . . ·
Z
exp(i(ν − µ)t)dt)dµ = 2π
Z
(. . . · . . . δ(ν − µ))dµ.
Òåîðåìà 5.4.1. Ïóñòü âûïîëíåíû ñäåëàííûå âûøå ïðåäïîëîæåíèÿ è
îïåðàòîð   B−A   ÿäåðíûé. Òîãäà îïåðàòîð ðàññåÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå                    H
çàäàåòñÿ ôîðìóëîé:
                                     Z
 S(B , A)ψ(λ , ω) = ψ(λ , ω) − 2πi       t(λ + i0 | λ , ω , λ , ω 0 )ψ(λ , ω 0 )dω 0 .
                                                                                (5.45)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:

      id − S(B , A) = W+∗ (B , A)W+ (B , A) − W+∗ (B , A)W− (B , A) ,
      id − S(B , A) = W+∗ (B , A)(W+ (B , A) − W− (B , A)) ,
       < φ , (id − S(B , A))ψ >=
       Z +∞
              d
                 < φ , W+∗ (B , A) exp(iBt) exp(−iAt)ψ > dt =
        −∞ dt
        Z +∞
      i       < φ , W+∗ (B , A) exp(iBt)(B − A) exp(−iAt)ψ > dt =
         −∞
        Z +∞
      i       < exp(−iBt)W+ (B , A)φ , (B − A) exp(−iAt)ψ > dt =
         −∞
        Z +∞
      i       < W+ (B , A) exp(−iAt)φ , (B − A) exp(−iAt)ψ > dt =
         −∞
        Z +∞
      i       < exp(−iAt)φ , W+ (B , A)∗ (B − A) exp(−iAt)ψ > dt.
        −∞

Òåïåðü ó÷òåì, ÷òî ñîãëàñíî (5.42) íà ñòð. 392 è (3.115) íà ñòð. 191:

< exp(−iAt)φ , W+ (B , A)∗ (B − A) exp(−iAt)ψ >=
      ∞
      Z
 lim      < R(λ + i , A) exp(−iAt)φ , R(λ + i , B)(B − A) exp(−iAt)ψ >=
→+0 π −∞

      ∞
      Z
 lim      < R(λ − i , A)R(λ + i , A) exp(−iAt)φ , T (λ + i , A , B) exp(−iAt)ψ > .
→+0 π −∞


 äèàãîíàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè îïåðàòîðà A:
                                    
         R(λ − i , A)R(λ + i , A) = ((λ − µ)2 + 2 )−1 → δ(λ − µ) ,
      πZ                             π
         < . . . exp(−iAt) . . . , . . . exp(−iAt) . . . > dt =
      Z         Z                               Z
        (. . . · exp(i(ν − µ)t)dt)dµ = 2π (. . . · . . . δ(ν − µ))dµ.


                                     394

Страницы