Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 404 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(t) [0 , ∞)
lim
t→∞
f(t) = a < ∞,
a = lim
→0
Z
∞
0
exp(−t)f(t)dt.
W
±
(B , A)
< ψ , W
+
(B , A)φ >= lim
t→∞
< ψ , W (t)φ >=
lim
t→∞
< exp(−itB)ψ , exp(−itA)φ >=
lim
→0
2
Z
∞
0
exp(−2t) < exp(−itB)ψ , exp(−itA)φ > dt =
lim
→0
2
Z
∞
−∞
exp(−2t)θ(t) < exp(−itB)ψ , exp(−itA)φ > dt.
g(t): t 7→ θ(t) exp(−t − itB)ψ.
F (g)(ξ) =
Z
∞
−∞
θ(t) exp(−iξt − t − itB)ψdt =
Z
∞
−∞
[
Z
∞
0
exp(−iξt − t − itλ)dt]d
λ
E(λ , B)ψ =
Z
∞
−∞
(iξ + iλ + )
−1
d
λ
E(λ , B)ψ = iR(i − ξ , B)ψ.
< ψ , W
+
(B , A)φ >= lim
→+0
π
Z
∞
−∞
< R(λ + i , B)ψ , R(λ + i , A)φ > dλ.
< ψ , W
−
(B , A)φ >= lim
→+0
π
Z
∞
−∞
< R(λ − i , B)ψ , R(λ − i , A)φ > dλ.
     Åñëè ôóíêöèÿ f (t) íåïðåðûâíà íà ïîëóîñè [0 , ∞) è

                        lim f (t) = a < ∞,
                        t→∞

òî
                                      Z   ∞
                        a = lim              exp(−t)f (t)dt.
                                →0   0

Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî âîëíîâûå îïåðàòîðû W± (B , A) ñóùåñòâóþò.
Òîãäà

       < ψ , W+ (B , A)φ >= lim < ψ , W (t)φ >=
                                t→∞
        lim < exp(−itB)ψ , exp(−itA)φ >=
       t→∞
              Z ∞
       lim 2     exp(−2t) < exp(−itB)ψ , exp(−itA)φ > dt =
       →0     0
              Z ∞
       lim 2     exp(−2t)θ(t) < exp(−itB)ψ , exp(−itA)φ > dt.     (5.41)
       →0   −∞

Íàéäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè

                      g(t) : t 7→ θ(t) exp(−t − itB)ψ.

Èìååì:
                        Z   ∞
             F (g)(ξ) =      θ(t) exp(−iξt − t − itB)ψdt =
                          −∞
             Z ∞ Z ∞
                  [    exp(−iξt − t − itλ)dt]dλ E(λ , B)ψ =
               −∞ 0
             Z ∞
                  (iξ + iλ + )−1 dλ E(λ , B)ψ = iR(i − ξ , B)ψ.
               −∞

Âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ, èç (5.41) ïîëó÷èì:

                            ∞
                            Z
 < ψ , W+ (B , A)φ >= lim       < R(λ + i , B)ψ , R(λ + i , A)φ > dλ.
                      →+0 π −∞
                                                                  (5.42)
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâî

                            ∞
                            Z
 < ψ , W− (B , A)φ >= lim       < R(λ − i , B)ψ , R(λ − i , A)φ > dλ.
                      →+0 π −∞
                                                                  (5.43)

                                          392

Страницы