Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 402 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

τ L
2
(R
1
, dλ)
L
2
((0 , ∞) , db))
ω 7→
Z
∞
−∞
exp(−ibλ − iτh(λ))ω(·, λ)dλ,
L
2
(R
1
, dλ)
τ → ∞
W
+
(h(B) , h(A)) = W
+
(B , A).
h
0
(λ) < 0
φ → exp(iτh(A))φ
A B
h(λ)
h(A) − h(B)
W (t) t → ∞
A B
L
2
([R
1
7→ H] , dt)
t ∈ R
1
H
Z
∞
−∞
kf(t)k
2
dt < ∞.
èç ðàññìîòðåííîãî ïðèìåíåíèåì òåîðåìû Áàíàõà-Øòåéíãàóçà ê çàâèñÿ-
ùåìó îò ïàðàìåòðà τ ñåìåéñòâó îòîáðàæåíèé ïðîñòðàíñòâà L2 (R1 , dλ) â
ïðîñòðàíñòâî L2 ((0 , ∞) , db)):
                       Z ∞
                 ω 7→       exp(−ibλ − iτ h(λ))ω(· , λ)dλ,
                      −∞

òàê êàê ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé ïëîòíî
â L2 (R1 , dλ).
   Ñîâåðøàÿ â íåðàâåñòâå (5.40) ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè τ → ∞, ìû
ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

                    W+ (h(B) , h(A)) = W+ (B , A).
Åñëè âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî h0 (λ) < 0, òî â (5.40) ìû äåëàåì çàìåíó

                           φ → exp(iτ h(A))φ
è äàëåå ðàñóæäàåì àíàëîãè÷íî. Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ïðèíöèï èíâàðèàíòíîñòè âîëíîâûõ îïåðàòîðîâ ïîçâîëÿåò äîêàçàòü
ñóùåñòâîâàíèÿ âîëíîâûõ îïåðàòîðîâ äëÿ ïàðû îïåðàòîðîâ A è B â òîì
ñëó÷àå, åñëè óäàåòñÿ ïîäîáðàòü ãëàäêóþ ìîíîòîííóþ ôóíêöèþ h(λ) òàê,
÷òîáû îïåðàòîð h(A) − h(B) áûë áû ÿäåðíûì.


5.4    Ôîðìóëû äëÿ ìàòðèöû ðàññåÿíèÿ

Èçëîæåííûé âûøå ìåòîä èññëåäîâàíèÿ çàäà÷è ðàññåÿíèÿ îñíîâàí íà èñ-
ñëåäîâàíèè ïðåäåëà îïåðàòîðà W (t) ïðè t → ∞ è íàçûâàåòñÿ íåñòàöèî-
íàðíûì ìåòîäîì. Äðóãîé ïîäõîä ê çàäà÷å ðàññåÿíèÿ îñíîâàí íà èññëåäî-
âàíèè ïðåäåëîâ ðåçîëüâåíò îïåðàòîðîâ A è B ïðè ñòðåìëåíèè ñïåêòðàëü-
íîãî ïàðàìåòðà ê òî÷êå íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà. Ýòîä ìåòîä òåõíè÷åñêè
áîëåå ñëîæåí, íî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ âîëíî-
âûõ îïåðàòîðîâ è îïåðàòîðà ðàññåÿíèÿ.
   Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ìåòîäàìè. Ìû íà÷íåì ñ äîêà-
çàòåëüñòâà íåñêîëüêèõ âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé.
   Âî-ïåðâûõ, ïîêàæåì, êàê ñòðîèòñÿ îáîáùåíèå òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå-Ïëàíøåðåëÿ (ïî äðóãîé òåðìèíîëîãèè -ãèëüáåðòîâà ïðåîáðàçîâà-
íèÿ Ôóðüå) íà ôóíêöèè ñî çíà÷åíèÿìè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.
   Ïóñòü L2 ([R1 7→ H] , dt) -ìíîæåñòâî òåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé îò
t ∈ R1 ñî çíà÷åíèÿìè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H , êîòîðûå óäîâëå-
òâîðÿþò óñëîâèþ:          Z ∞
                                kf (t)k2 dt < ∞.
                           −∞


                                   390

Страницы