Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 399 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(φ ∈ M(A) , a > 0) :
|
Z
a
0
< φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)C exp(−i(s + b)A)φ > db| ≤
(2π)
1/2
kφ | M(A)k
X
1≤j<∞
s
j
(C)R(g
j
, φ , s)
1/2
.
|
Z
a
0
< φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)C exp(−i(s + b)A)φ > db| ≤
X
1≤j<∞
s
j
(C)|
Z
a
0
< φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)e
j
> ×
< g
j
, exp(−i(s + b)A)φ > db| ≤
X
1≤j<∞
s
j
(C)
Z
∞
−∞
| < φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)e
j
> |
2
db
1/2
×
Z
∞
s
| < g
j
, exp(−ibA)φ > |
2
db
1/2
.
Z
∞
−∞
| < φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)e
j
> |
2
db =
Z
∞
−∞
| < exp(−ibA)φ , exp(−i(s − t)B)e
j
> |
2
db ≤
2πkφ | M(A)k
2
.
∀(φ ∈ M(A) , a > 0) :
|
Z
a
0
< φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B) exp(−i(s + b)A)φ > db| ≤
(2π)
1/2
kφ | M(A)k
X
1≤j<∞
s
j
(C)R(e
j
, φ , t)
1/2
.
Ëåììà 5.3.7. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà
   ∀(φ ∈ M(A) , a > 0) :
     Z a
   |     < φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)C exp(−i(s + b)A)φ > db| ≤
      0
                         X
   (2π)1/2 kφ | M(A)k         sj (C)R(gj , φ , s)1/2 .
                             1≤j<∞

    Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
    Z a
  |     < φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)C exp(−i(s + b)A)φ > db| ≤
     0
    X            Z a
         sj (C)|     < φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)ej > ×
  1≤j<∞             0

  < gj , exp(−i(s + b)A)φ > db| ≤
   X            Z ∞                                                1/2
                                                                 2
         sj (C)      | < φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)ej > | db     ×
  1≤j<∞                 −∞
  Z     ∞                                1/2
                                     2
             | < gj , exp(−ibA)φ > | db          .
     s

Äàëåå â ñèëó ëåììû Ì.Ðîçåíáëþìà èìååì:
  Z ∞
      | < φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B)ej > |2 db =
  Z−∞
    ∞
      | < exp(−ibA)φ , exp(−i(s − t)B)ej > |2 db ≤
   −∞
  2πkφ | M(A)k2 .

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî íåðàâåíñòâî â ïðåäûäóùóþ îöåíêó, ïîëó÷àåì íóæíîå
óòâåðæäåíèå.
   Ëåììà äîêàçàíà.
   Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ
Ëåììà 5.3.8. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà
    ∀(φ ∈ M(A) , a > 0) :
      Z a
    |     < φ , exp(i(t + b)A) exp(−i(s − t)B) exp(−i(s + b)A)φ > db| ≤
       0
                          X
    (2π)1/2 kφ | M(A)k         sj (C)R(ej , φ , t)1/2 .
                             1≤j<∞



                                           387

Страницы