Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 397 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A B
Dom(A) = Dom(B) = D
C = B − A
W
±
(B , A)
W
+
(B , A)
W
−
(B , A)
Z(t , s) = W (t)
∗
(W (t) − W (s)) =
id − exp(itA) exp(−i(t − s)B) exp(−isA).
k(W (t) − W (s))φk
2
=< φ , Z(t , s)φ > + < φ , Z(s , t)φ > .
[D , F ]
D H
∀(φ ∈ D) : < φ , [D , F ]φ >:=< D
∗
φ , F φ > − < F
∗
φ , Dφ > .
∀(φ ∈ D, a > 0) : < φ , Z(t , s)φ >=
< φ , exp(iaA)Z(t , s) exp(−iaA)φ > +
i
Z
a
0
< φ , exp(i(a + t)A)[C , exp(−i(t − s)B)] exp(−i(s + b)A)φ > db.
< φ , Z(t , s)φ > − < φ , exp(iaA)Z(t , s) exp(−iaA)φ >=
−
Z
a
0
d
db
< φ , exp(ibA)Z(t , s) exp(−ibA)φ > db =
− i
Z
a
0
< φ , exp(i(b + t)A)[A , exp(−i(t − s)B)] exp(−i(s + b)A)φ > db.
Òåîðåìà 5.3.1. Ïóñòü A è B -ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû ñ îáùåé
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ

                           Dom(A) = Dom(B) = D

è îïåðàòîð     C = B−A       ïðîäîëæàåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè äî ÿäåðíîãî
îïåðàòîðà. Òîãäà âîëíîâûå îïåðàòîðû         W± (B , A)   ñóùåñòâóþò è ïîëíû.

   Äîêàçàòåëüñòâó ýòîé òåîðåìû ìû ïðåäïîøëåì íåñêîëüêî ëåìì. Ìû
áóäåì äîêàçûâàòü ñóùåñòâîâàíèå îïåðàòîðà W+ (B , A), äîêàçàòåëüñòâî
ñóùåñòâîâàíèÿ îïåðàòîðà W− (B , A) àíàëîãè÷íî.
   Ïóñòü

                   Z(t , s) = W (t)∗ (W (t) − W (s)) =
                   id − exp(itA) exp(−i(t − s)B) exp(−isA).

Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì äîêàçûâàåòñÿ

Ëåììà 5.3.4. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
    k(W (t) − W (s))φk2 =< φ , Z(t , s)φ > + < φ , Z(s , t)φ > .           (5.36)

    ôîðìóëå (5.37) è â àíàëîãè÷íûõ ôîðìóëàõ íèæå ñèìâîëîì [D , F ]
ìû îáîçíà÷àåì îïåðàòîð, êîòîðûé çàäàåò êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó íà îáëà-
ñòè D (è íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì â ïðîñòðàíñòâå H ):

         ∀(φ ∈ D) : < φ , [D , F ]φ >:=< D∗ φ , F φ > − < F ∗ φ , Dφ > .

Ëåììà 5.3.5. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
  ∀(φ ∈ D , a > 0) : < φ , Z(t , s)φ >=
   < φ , exp(iaA)Z(t , s) exp(−iaA)φ > +
    Z a
  i     < φ , exp(i(a + t)A)[C , exp(−i(t − s)B)] exp(−i(s + b)A)φ > db.
     0
                                                                           (5.37)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

 < φ , Z(t , s)φ > − < φ , exp(iaA)Z(t , s) exp(−iaA)φ >=
   Z a
        d
 −        < φ , exp(ibA)Z(t , s) exp(−ibA)φ > db =
    0 db
    Z a
 −i      < φ , exp(i(b + t)A)[A , exp(−i(t − s)B)] exp(−i(s + b)A)φ > db.
     0


                                      385

Страницы