Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 391 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

< φ , E(λ , B)W
+
(B , A)ψ >=< W
+
(B , A)
∗
φ , E(λ , A)ψ >,
∀(φ , ψ) : < φ , W
+
(B , A)E(λ , A)ψ >=< φ , E(λ , B)W
+
(B , A)ψ > .
kE(λ , B)W
+
(B , A)φk = kW
+
(B|, , A)E(λ , A)P
ac
(A)φk =
kE(λ , A)P
ac
(A)φk.
λ W
+
(B , A)φ ∈ P
ac
(B)H
W
±
(B , A) W
±
(C , B)
W
±
(C , A)
W
±
(C , A) = W
±
(C , B)W
±
(B , A).
k lim
t→±∞
exp(itC) exp(−itB)(P
ac
(B) − id) lim
t→±∞
exp(itB) exp(−itA)P
ac
(A)φk =
k(P
ac
(B) − id) lim
t→±∞
exp(itB) exp(−itA)P
ac
(A)φk = 0.
W
±
(C , B)W
±
(B , A)φ =
lim
t→±∞
exp(itC) exp(−itB)P
ac
(B) lim
t→±∞
exp(itB) exp(−itA)P
ac
(A)φ =
lim
t→±∞
exp(itC) exp(−itB) lim
t→∞
exp(itB) exp(−itA)P
ac
(A)φ+
lim
t→±∞
exp(itC) exp(−itB)(P
ac
(B) − id)×
lim
t→±∞
exp(itB) exp(−itA)P
ac
(A)φ =
lim
t→±∞
exp(itC) exp(−itA)P
ac
(A)φ = W
±
(C , A).
è èç åäèíñòâåííîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñëåäóåò ðàâåñòâî

  < φ , E(λ , B)W+ (B , A)ψ >=< W+ (B , A)∗ φ , E(λ , A)ψ >,

ïîýòîìó

  ∀(φ , ψ) : < φ , W+ (B , A)E(λ , A)ψ >=< φ , E(λ , B)W+ (B , A)ψ > .
Âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî.
   Èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
        kE(λ , B)W+ (B , A)φk = kW+ (B|, , A)E(λ , A)Pac (A)φk =
        kE(λ , A)Pac (A)φk.
Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà åñòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ïà-
ðàìåòðà λ. Ñëåäîâàòåëüíî, W+ (B , A)φ ∈ Pac (B)H .
   Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ñîîòíîøåíèå (5.24) íàçûâàåòñÿ ñïëåòàþùèì ñâîéñòâîì âîëíîâûõ îïå-
ðàòîðîâ.
   Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé îá óìíîæåíèè âîëíîâûõ
îïåðàòîðîâ.
Òåîðåìà 5.2.2. Åñëè âîëíîâûå îïåðàòîðû W          ± (B   , A)   è   W± (C , B)   ñó-
ùåñòâóþò, òî âîëíîâîé îïåðàòîð       W± (C , A)   ñóùåñòâóåò è âûïîëíåíî
ðàâåíñòâî
                     W± (C , A) = W± (C , B)W± (B , A).                     (5.26)
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî
k lim exp(itC) exp(−itB)(Pac (B) − id) lim exp(itB) exp(−itA)Pac (A)φk =
 t→±∞                                     t→±∞

k(Pac (B) − id) lim exp(itB) exp(−itA)Pac (A)φk = 0.
              t→±∞

Ñ ó÷åòîì ýòîãî çàìå÷àíèÿ, èìååì:
   W± (C , B)W± (B , A)φ =
    lim exp(itC) exp(−itB)Pac (B) lim exp(itB) exp(−itA)Pac (A)φ =
    t→±∞                            t→±∞

     lim exp(itC) exp(−itB) lim exp(itB) exp(−itA)Pac (A)φ+
    t→±∞                      t→∞

     lim exp(itC) exp(−itB)(Pac (B) − id)×
    t→±∞

     lim exp(itB) exp(−itA)Pac (A)φ =
    t→±∞

     lim exp(itC) exp(−itA)Pac (A)φ = W± (C , A).
    t→±∞

Òåîðåìà äîêàçàíà.

                                    379

Страницы